В предыдущем параграфе мы получили сравнительно простое решение для случая, когда в пустоте имеется анизотропный шар и задано однородное поле вдали от него. Похожая, казалось бы, задача, когда в безграничной анизотропной среде имеется сферическая полость и задано однородное поле Ei0) вдали от нее, в действительности значительно сложнее. Мы без вывода приведем ее решение, имея в виду важное значение одной задачи для микроскопической теории кристаллической решетки *). Оказывается, поле в полости EU) в этом случае также однородно, но зависимость его от £@\ хотя и остается линейной, значительно более сложна. Прежде чем выписать решение этой задачи, рассмотрим, исходя из принципа Кюри, тензор S — функцию симметричного тензора второго ранга Т. Как отмечалось в § 22, симметричный гензор второго ранга Т во всяком случае инвариантен относительно группы ттт. Из принципа Кюри следует, что тензор S инвариантен по меньшей мере относительно той же группы. Но так как собственные векторы тензора направлены по осям симметрии этого гензора, из принципа Кюри следует, что собственные векторы тензор-функции совпадают с собственными векторами тензор-аргумента **). Отсюда ясно, что все тензоры, являющиеся функциями одного симметричного тензора второго ранга, приводятся к диагональному виду в той же системе координат, что и тензор-аргумент. Говорят, что S = / (Т), если в этой системе / 15,1, о а II |/(ГA)) о о | О SB) 0 = О /(ГB)) 0 . О 0 5C,11 || 0 0 fG\8l)I В частности, 8 = Кт, если Su-, = VrT(£). Так можно рассматривать даже функционалы от тензора; нужно только, чтобы во всей области изменения тензор- функции его собственная система координат оставалась неизменной. Вернемся теперь к задаче, поставленной в начале параграфа. Пусть х — тензор коэффициентов диэлектрической проницаемости анизотропной среды, т]= к*— тензор коэффициентов ее диэлектрической непроницаемости, Введем в рассмотрение тензоры jli = We и v = V% а также тензор коэффициентов деполяризации " JT^f РЧ^* B9.1) Тогда поле в полости Е{1) однородно и зависит от поля вдали от полооти £@> следующим образом: £<*> = [1 — v • N • (I — -л) • ц]-1. Е<0). B9.2) В собственной системе координат формулы B9.1) и B9.2) существенно упрощаются. Из формулы B9.2) выпадают собственные значения тензоров jli и v (они просто сокращаются), и эта формула принимает вид ^) J-^r B9-3) *) Вывод см. Ландау и Лифшиц A957, §§ 4, 8, 13). О применении этой задачи в микроскопической теории кристаллической решетки см. Ворн и Хуан Кунь A958) и Киттель A962). *♦) Кроме того, из принципа Кюри вытекает, что тензор-функция симметри- чен по индексам, если тензор-аргумент обладает этим свойством. Дело в гом, что если тензор второго ранга существенно несимметричен по индексам, г. е, не равен транспонированному по отношению к нему гензору, в его группе вим- метрии заведомо отсутствуют некоторые из операций, входящих в группу ттт. 198 ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ ГГЛ TTI Для собственных значений тензора коэффициентов деполяризации из B9.1) получим оо N(k) = ±Vdtf4 f dZ B9.4) Интеграл в этой формуле — эллиптический; он выражается через известные эллиптические интегралы первого и второго рода F (ф, k) и Е (ф, k) *). Именно, полагая, что т|A> > T]B, > T|C)t и обозначая Пси г ПA> —ЛC)' имеем (Леи—W г Леи— ЛC) [р (ф§ л)_ £ (ф> Л)]f B9.5a) KJ /Л(рЛB)ЛC) Г^Лш~ЛC) Р . .ч ЛA)—Л<2) L ЛB)"~Л<3) *)] !!<!> , B9.56) )—ЛC) J ЛB>—ЛC) АГ,„ = __3« /л.1.т!,2,Л.з» Е (ф> ft) B9#5в) Сложив собственные значения, тензора коэффициентов деполяризации, получим tftt-l. B9.6) Для кристаллов средней категории, когда два собственных значения тензора коэффициентов диэлектрической непроницаемости совпадают, интегралы B9.5) выражаются через элементарные функции. Здесь нужно различать два случая. Если Лц > Лх» то» обозначив •) По определению эллиптический интеграл первого рода а эллиптически1) интеграл второго рода Значения этих интегралов как функций ср и /? приведены во многих сборниках математических таблиц, см„ например, Янке, Эмде и Леш A968), $ Щ ТОЧЕЧНЫЙ ЗАРЯД И ДИПОЛЬ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ 199 получим Если же r\L > т)ц, обозначаем и тогда ^, = 1—i-(arctgf —/), tf±—^(arctgf-fl. B9.8) Формулы B9.7) и B9.8) можно еще упростить, если анизотропия диэлектрических свойств кристалла мала. Именно, если е < 1, формулы B9.7) можно приближенно записать в виде wi-f—ЙГ* wi-* + TI* <29-9> формулы же B9.8) при / << 1 записываются в виде V + * *1* <29Л0) Для кристаллов кубической системы и ^изотропных тел из B9.6) получаем N=±NU = ±. B Воспользовавшись теперь формулой B9.2), найдем @); B9Л2) к этому общеизвестному результату, конечно, можно было прийти совершенно элементарным путем.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поле в сферической полости в анизотропной среде» з дисципліни «Основи кристалофізики»
