Основное исходное понятие любой теории сплошной среды — элементарный объем, т. е. мысленно выделяемая часть исследуемого материала, размеры которой удовлетворяют двум требованиям: 1) она должна заключать в себе столь много структурных единиц (в случае кристалла — элементарных ячеек, в случае стеклопластика — отдельных стеклянных нитей и т. д.), чтобы ее с достаточной точностью можно было считать однородной; 2) она должна быть настолько мала, чтобы можно было пренебречь изменением физических полей на ее протяжении: в пределах одного элементарного объема физические поля (электрическое, магнитное, поле механических напряжений и т. д.) рассматриваются как однородные. Обозначив постоянную решетки а, характерный размер элементарного объема y^v, а градиент поля дЕ/дх (рассматривается для определенности электрическое поле), можно записать оба эти требования как неравенство Если поле периодично в пространстве и характеризуется длиной волны Х9 то B4.1) принимает вид а<]/^<Ь. B4.2) Из того, что сплошная среда представляется однородной в пределах одного элементарного объема, еще не следует, что она однородна в целом, т. е. что свойства всех элементарных объемов одинаковы. Отсюда следует лишь, что свойства соседних элементарных объемов близки. Рассматривая как пример диэлектрическую проницаемость х, можно записать для любой сплошной среды § 24] АНИЗОТРОПНЫЕ СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ 171 неравенство или- ^ <J у, в то время как в однородной среде Рассматривая воздействие на кристалл физических полей, длина волны которых значительно превышает размеры элементарной ячейки, можно отвлечься от микроскопического строения кристалла и представлять его себе как некоторую сплошную среду. Напротив, в эффектах взаимодействия кристаллического вещества с полями, длина волны которых сравнима с размерами элементарной ячейки, проявляется дискретное строение кристалла, что и позволяет использовать эти эффекты для исследования его структуры. В этой книге кристаллы рассматриваются как однородные анизотропные сплошные среды *). Однородной анизотропной средой называется среда, свойства которой не зависят от декартовых координат, хотя и зависят от направления. При этом одинаковыми направлениями считаются параллельные направления, а одинаковыми плоскостями — параллельные плоскости. Иногда такие среды называют прямолинейно-анизотропными, в отличие от криволинейно-анизотропных — например, цилиндрически- или сферически-анизотропных сред. Однако мы будем считать однородными только прямолинейно- анизотропные среды. Желательно, чтобы определение однородности было инвариантно, т. е. материал признавался бы однородным или неоднородным вне зависимости от того, в какой системе координат он описывается. А для этого необходимо требовать равенства нулю не частных, а ковариантных производных по координатам тензоров, характеризующих свойства материала. Поскольку для равенства нулю ковариантных производных по любым криволинейным координатам необходимо и достаточно равенство нулю частных производных по декартовым координатам, действительно однородны только прямолинейно-анизотропные материалы. Анизотропия физических свойств кристалла определяется путем измерения этих свойств на различно ориентированных кристаллических образцах. Так, анизотропию теплового расширения кристаллов можно выяснить, измерив относительные изменения толщины Да/а различно ориентированных кристаллических пластинок при их нагревании. Коэффициент теплового расширения для пластинки, ориентация которой задана индексами Миллера (hkl), (Аа/а)(Ш> 1*- *) Рассмотрение дефектов кристаллической структуры и их влияния на физические свойства кристаллов не входит в задачи этой книги. 172 ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ \ТЛ III где в — разность температур до и после нагрева. Аналогично, анизотропия модуля Юнга выясняется при измерении относительных удлинений А/// различно ориентированных кристаллических стержней под действием растягивающего напряжения а: для стержня luvw] модуль Юнга равен Е[Мте>] = ;- . Упругие свойства материалов характеризуются не только модулем Юнга, но также и модулем кручения цилиндра G. Измеряя относительные углы закручивания ф// различно ориентированных круглых кристаллических стержней под действием крутящего момента /С, получим для стержня luvw] модуль кручения G[UVw] = г~туг » где J — полярный момент инерции поперечного сечения стержня. Часто пользуются обратными величинами: Е'1 и G; их называют коэффициентом растяжения и коэффициентом кручения *). Ориентацию кристаллических стержней и пластинок можно задавать также единичным вектором /*, направленным вдоль оси стержня или по нормали к пластинке (о связи его компонент с индексами Миллера см. § 16). Компоненты щ вектора /*, в свою очередь, можно выразить посредством формул B2.5) через сферические координаты— углы О и ф (см. также рис. 22.1). В результате коэффициент теплового расширения, модуль Юнга и модуль кручения цилиндра представляются в виде функций единичного вектора a (/i), E (/i), G (/*) или сферических координат а (Ф,ф), Е (О, ф), G (О, Ф). Если из некоторой точки О — начала сферической системы координат — провести всевозможные лучи, характеризуемые углами Ф и ф, и отложить на них в некотором масштабе значения а (Ф, ф) или Е (О, ф), получатся указательные поверхности коэффициента теплового расширения и модуля Юнга; модели таких поверхностей для некоторых кристаллов приведены на рис. 24.1 — 24.10. Модели указательных поверхностей, хотя и очень наглядны, сложны в изготовлении и мало пригодны для количественных оценок. Несколько удобнее в этом отношении сечения указательных поверхностей (см. рис. 24.5, 24.8, б, 24.10). Однако и они позволяют оценивать величину изображаемого свойства только в некоторых направлениях. Иногда указательная поверхность оказывается поверхностью вращения, и тогда по ее сечению можно судить о величине свойства во всех направлениях (см. рис. 24.3 и 24.6). В остальных случаях для этого нужны стереографические проекции указательных поверхностей (Бутабаев и Сиротин, 1972, 1973; Сиротин и Янусова, 1977). На этих проекциях физические свойства представляются графи- *) Подробнее эти величины рассмотрены в гл. VI: коэффициент теплового расширения — в §§ 51 и 52, модуль Юнга — в § 53, модуль кручения цилиндра — в §54. I 24] АНИЗОТРОПНЫЕ СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ 173 Рис. 24.1. Модель верхней половины (нижняя — ее зеркальное отражение) указатоль- гонита, класс mm Сиротин, 197*). ной поверхности коэффициента теплового расширения кристалла арагонита, класс ттт (а), н ее стереографическая проекция; в 10г* К (б) (Вутабаев " ~* Рис. 24.2. Модель верхней половины (нижняя — ее зеркальное отражение) указательной поверхности коэффициента теплового расширения кристалла сегнетовой соли, класо 222 (а), и ее стереографическая проекция; в 10~в К (б). Различие в виде стереографических проекций рис. 24 1 и 24.2 объясняется тем, что у арагонита центру проекции (ось А'?) соответствует экстремальное значение функции а (Ф, <р), а у сегнетовой соли — седловидная точка этой функции (Бутабаев и Сиротин, 1973). 8) Рис. 24.3. Сечения указательных поверхностей коэффициента теплового расширения, представляющих собой поверхности вращения: а) для кристалла сапфира, класс Зт: б) для турмалина, класс Зт; в) для дигидрофосфата калия (KDP), класс 42т; г) для дигидрофосфата аммония (ADP), класс 42т; д) для кальцита — класс Зт (Бутабаев и Сиротин, 1972). епсп а) 6) Рис. 24.4. Модели указательных поверхностей модуля Юнга: а) для монокристалла золота, класс m3m; б) для алюминия, класс тЗт; в) для магния* класс 6/ттт; г) для цинка класс 6/ттт. Симметрия первых двух поверхностей тЗгп, остальных — со/mm (Kleber. 1977). §24] АНИЗОТРОПНЫЕ СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ 175 Рис. 24.5. Указательная поверхность коэффициента растяжения кристалла барита, класс ттт, и ее сечения; буквы а, Ь, ... указывают расположение сечений относительно поверхности (Грот, 1897). 36'Ю~13см%н 72-П~ашг1дш . Ш 02 (," 0 ■ ) Рис. 24.6. Сечения указательных поверхностей упругих свойств, представляющих собой поверхности вращения: а) для кристаллов цинка, класс б/mmm; б) для кадмия, класс 6/ттт; в) для сульфида кадмия (CdS), класс 6mm; г) для а-карбида кремния, класс 6mm; / — сечение поверхности коэффициента растяжения, 2 -— поверхности коэффициента кручения (Бутабаев и Сиротин, 1972). 176 ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ [ГЛ. III Рис. 24.7. Верхняя половина (нижняя — ее зеркальное отражение) модели указательной поверхности коэффициента растяжения кристалла кремния, классГтЗт (Бутабаев и Смыслов, 1971). №5 6 '.уНоЛм'/дин /-—н !^ А ttJiUf Г/Ик Рис. 24.8. Верхняя половина (нижняя ее половина получается из верхней инверсией в центре) модели указательной поверхности коэффициента растяжения кристалла сапфира, класс Зт (а) и сечения указательной поверхности вертикальными плоскостями (б); / — плоскостью, проходящей через Xit 2 — плоскостью, отстоящей от первой на +15°, 3 — на +30°, 4 — на —15°, 5 — на —30°, знаки углов соответствуют повороту к положительному (+) или отрицательному (—) концу оси Х9 (Бутабаев и Смыслов, 1971). §24] АНИЗОТРОПНЫЕ СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ 177 чески в виде линий уровня. Как показано в § 2, каждому направлению в пространстве соответствует определенная точка на стереографической проекции. В свою очередь, в кристалле каждому направлению соответствует определенное значение анизотропного физического свойства. Соединив те точки на стереографической проекции, которые характеризуются одной и той же величиной физического свойства, получаем линию уровня данного свойства, а совокупность этих линий образует стереографическую проекцию указательной поверхности этого физического свойства (см. рис. 24.1, б, 24.2,6, 24.11). Рассмотрим, например, рис. 24.1, б— стереографическую проекцию указательной поверхности коэффициента теплового расширения арагонита, изображенной на рис. 24.1, а. Как известно (см. § 2), каждому направлению верхней полусферы соответствует определенная точка круга стереографической проекции. Линии на стереографической проекции указательной поверхности соединяют точки, соответствующие тем направлениям, в которых коэффициент теплового расширения арагонита одинаков, а именно, те, и Рис. 24.9. Указательная поверхность коэффициента растяжения кристалла кварца, класс 32. а — выход направления [0001J, ЬЬ и се — концы трех наибольших и трех наименьших диаметров. Сплошная линия — круговое сечение указательной поверхности плоскостью @001). Пунктирные линии — сечения указательной поверхности плоскостями {2lT0}. Симметрия поверхности Ът (Грот, 1897). Рис. 24.10. Сечения указательных поверхностей коэффициента растяжения (внутри) и коэффициента кручения (снаружи) кристалла кварца, класс 32, координатными плоскостями (Wooster, 1949). Ср. с рис. 24.9 и 24.11 (кристаллографическая система координат на рис. 24.11 отличается от используемой здесь поворотом на 180° вокруг оси Х3). -1 в которых а (О, ф) = 10,0; 11,5; 13,0; ...; 32,5; 34,0; 35,0 • 10"бК Итак, это линии уровня функции а (О, ф). Стереографические проекции указательных поверхностей можно использовать как номограммы для определения величины, характеризующей данное свойство в любом заданном направлении, или 178 ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ ГГЛ. IIТ для определения направлений, в которых эта величина имеет заданное (в частности, экстремальное) значение. Для этого нужна полярная сетка того же диаметра, что и данная проекция; ее можно просто начертить на прозрачной бумаге. Если на сетку нанести кристаллографические плоскости и направления, можно определить также количественные характеристики свойств для них, например, Щны\% E[uvw] или G[UVW] (Бутабаев и Сиротин, 1975). а) Рио. 24.11. Стереографические проекции указательных поверхностей коэффициентов растяжения (а) и кручения (б) кристалла кварца, класс 32; в 108 см/дин. Нижние круги стереографических проекций получаются из приведенных поворотом на 180° вокруг оси Х\. Видно, что плоскости {2П0} (в частности, плоскость XtXa) являются плоскостями симметрии этих поверхностей, точечная группа которых равна, таким образом, Ът. Ср. с рис. 24.9 и 24.10. Многие величины, характеризующие свойства кристаллов во всех направлениях, положительны; таковы, например, модуль Юнга и модуль кручения цилиндра, но есть и такие, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, например, коэффициент теплового расширения кальцита (рис. 24.3,5). Части указательной поверхности, соответствующие отрицательным значениям величины, характеризующей данное свойство, окрашиваются в черный цвет, в противоположность положительным — белым ее частям (ср. указательные поверхности векторов и тензоров второго ранга, рис. 22.3, 22.2), или просто отмечают знаками «минус» и «плюс».
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Анизотропные сплошные среды» з дисципліни «Основи кристалофізики»
