Как известно, компоненты vk вектора v при переходе от одного ортонормированного базиса ek к базису ее = с^^е^ преобразуются по закону vk = d'kVi>. A8.1) § 18] ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА HI Девять величин Tkh преобразующихся как произведения компонент двух векторов, т. е. по закону Ti>j' = Ci>kCj'iTkh Tki^Ci'kCjuTi'j', A8.2) называются компонентами тензора второго ранга Т. Аналогично, З3 = 27 величин Qimn, преобразующихся как произведения компонент трех векторов, т. е. по закону Qi'j'k' = Ci'iCj'mCk'nQlmm Qlmn e £*'/£/'*iA'«Q*'/'*' A8.3) — компонентами тензора третьего ранга Q и так далее. Подобно тому как вектор v записывается в виде v = Vi • е^ причем его компоненты vt = v • eit тензор Т можно представить в виде *) A8.4) (или Tkiekei). При этом его компоненты Ты относительно базиса 6k вычисляются по формуле Tkl = ek-T-eh A8.5) Компоненты Тру того же тензора относительно базиса ер = ci>kek равны Тру = ер • Т • еу. Подставив сюда выражение A8.4) и заметив, что ер • ek = cpky придем к формуле A8.2). Это показывает, что закон преобразования A8.2) тензорных компонент Ты сформулирован так, чтобы определяемый этими компонентами тензор ekTklei был, подобно вектору, геометрическим объектом, т. е. не зависел от того, в какой координатной системе он описывается. В кристаллофизике тензоры второго ранга выступают в различных ролях. Одна их них — роль линейного оператора, отображающего одно множество и на другое их множество v = г>(#)так, что v (Ы1* + [шB)) = Ли (иA)) + \iv (яB)), A8.6) где #A) и #B) — любые векторы из множества и, а X и \i — произвольные вещественные числа. Из соотношения A8.6) вытекает, что в любом ортонормированном базисе ek компоненты vk векторов v — линейные функции компонент щ соответствующих векторов и: A8.7) В базисе ер = cpkek эта зависимость принимает вид Vp = ТрГи}>, и из того, что векторные компоненты щ и vk преобразуются по закону A8.1), следует, что коэффициенты Tkl преобразуются по формулам A8.2), т. е. действительно являются компонентами тензора второго ранга Т. Поэтому соотношение A8.7) можно записать *) Тензор вида effii (в общем случае ab) называется диадой. Таким образом, в формуле A8,4) тензор Т представлен как сумма девяти диад. 142 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И 'ГЕНЗОРЫ [ГЛ. II в бескоординатном виде v = Tu. A8.8) Рассмотрим некоторые специальные случаи линейных преобразований векторных множеств. Если векторы v просто равны векторам и> соответствующий тензор называется единичным тензором и обозначается I. Компоненты единичного тензора в любой системе координат 1М = Ьы. Если векторы v коллинеарны векторам и и длиннее их в X раз, линейная зависимость v от и реализуется тензором XI (тензоры такого вида называются шаровыми). Записи v = XI • и эквивалентна более простая запись v = Хи. Составляющая любого вектора и, параллельная некоторому заданному единичному вектору к, может быть записана в виде кк • и. Таким образом, тензор кк осуществляет проектирование векторов на прямую, параллельную единичному вектору к. Аналогично, проектирование векторов на плоскость, перпендикулярную к единичному вектору Л, осуществляется тензором I — кк. Поворот векторов вокруг оси к на угол ф осуществляется тензором R(*, (p);=Icos(p — Ix ksin^ + kk(l— coscp), flg Rif = Sj/cosф + 8ifikisin<p+kikj(l —cosф). ' ' Это следует из формулы A7.6) *). Если определитель тензора Т отличен от нуля, линейную зависимость v = Т • и можно обратить: Тензор Р с компонентами где %ь] — алгебраическое дополнение элемента Tkj в определителе det ||Тн1|, называется обратным тензору Т; это обозначается: Р = Т. Взаимно обратные тензоры удовлетворяют тождествам Ti,P,k = 6ikt PfkTkl = 8fl. A8.11) Тензоры, проектирующие векторы на прямую и на плоскость, не имеют обратных тензоров, а у тензора R (Л, ф), поворачивающего векторы, обратный тензор есть. Как и матрицу, тензор второго ранга можно транспонировать. Если тензор не изменяется при транспонировании (Т* = Т), то он называется симметричным, если же он при этом меняет знак (Т* = —Т) — антисимметричным. Любой тензор Т разлагается *) Векторное умножение тензора Т на вектор v определяется аналогично скалярному: если Т = еь Tki £/, то Т X v = ekTki (ei X v)9 § 181 ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА 143 на симметричную часть S = V2 (Т + Т*) и антисимметричную часть А = 1/2(Т — Т*); сумма их равна исходному тензору Т. Симметричный тензор S^, в свою очередь, разлагается на шаровую, или сферическую, часть 1/3Sa/Av и девиатор Dy = Sy — — 1/3S/ffe6/y. След сферической части равен следу тензора, а след девиатора — нулю; вообще любой симметричный тензор второго ранга, след которого равен нулю, называется девиатором. Тензоры второго ранга можно рассматривать не только как линейные операторы, но и как результат дифференцирования вектора по вектору или двукратного дифференцирования скалярной функции по вектору. Рассмотрим сначала более простую операцию — дифференцирование скалярной функции по вектору. Если / — скалярная функция от компонент вектора и (и, быть может, от других параметров), величины & A8Л2) преобразуются как компоненты вектора. Это позволяет записать A8.12) в виде подчеркивающем независимость этой операции от выбора координатной системы. Если, в частности, в качестве векторного аргумента и выступает радиус-вектор г, то эта производная называется градиентом функции / и имеет специальное обозначение v = grad /. Аналогично определяется производная вектора по вектору. Если компоненты вектора v — функции от компонент вектора и, девять величин Sg A8ЛЗ) преобразуются как компоненты тензора второго ранга. Поэтому A8.13) можно записать в виде т dv Если аргументом служит радиус-вектор г, то гр dv гр / dv \ dvk -~dF> lkl~\dF)ki~~ a*// Градиентом вектора v принято, однако, называть не dv/дг, а транспонированный ему тензор Grad „ = (£)•, Сумма диагональных элементов этих тензоров — дивергенция 144 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ вектора v: [ГЛ. II Тензором второго ранга оказывается и вторая производная скалярной функции / по ее векторным аргументам и и v: Т = ы Если же это вторая производная по одному и тому же аргументу, т. е. Т = d2f/du ди, то тензор Т симметричен.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензоры второго ранга» з дисципліни «Основи кристалофізики»
