Замечательное свойство кристаллографических систем координат — описывать кристаллографические плоскости и направления векторами с целочисленными компонентами — во многих разделах кристаллофизики не существенно, а то обстоятельство, что компоненты вектора или тензора, характеризующего какое- либо физическое поле (электрическое, магнитное, поле механических напряжений), зависят не только от интенсивности поля, но и от параметров элементарной ячейки кристалла, воспринимается как серьезный недостаток. Поэтому в кристаллофизике предпочитают пользоваться декартовыми системами координат, отличительное свойство которых состоит в том, что все их базисные векторы — единичной длины и попарно ортогональны. Такие базисы называются ортонормированными. Будем обозначать их еъ е2, е3 и называть ортами, а для индексов условимся использовать не греческие буквы, а латинские *, /, kt /, m, n, ... = 1, 2, 3. Скалярное произведение любого орта на себя равно единице, а на другой орт — нулю, т. е. erek = bik9 A6.1) но это значит, что для декартовой системы координат не только смешанные, но и ковариантные компоненты метрического тензора определяются символом Кронекера gik = bik. A6.2) Таким образом, для ортонормированного базиса матрица G (и обратная ей матрица G), составленная из ковариантных компонент gik (и контравариантных компонент gik) метрического тензора, совпадает с единичной матрицей. Отсюда вытекает еще одно важное отличительное свойство ортонормированного базиса: взаимный к нему базис совпадает с основным: е* = е19 е'г = е2, е* = е9. A6.3) 132 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. II Поскольку контравариантные базисные векторы не отличаются от ковариантных ясно, что и контравариантные компоненты векторов не отличаются от их ковариантных компонент. А если так, то можно писать все индексы на одном уровне —принято писать их на нижнем уровне — и соответственно любые дважды повторяющиеся индексы считать индексами суммирования. Компоненты U любого вектора относительно кристаллофизической системы координат, равные скалярным произведениям этого вектора на соответствующие орты li = l-eh A6.4) уже не зависят от параметров элементарной ячейки кристалла: так как et — единичный вектор, каждая компонента lt полностью определяется длиной / вектора / и углом <р£, который он составляет с соответствующей координатной осью Xt: lt = l cos (ft. A6.5) В декартовой системе координат очень упрощается вычисление скалярного и векторного произведений векторов и всех связанных с ними величин. Действительно, в компонентах относительно декартовой системы имеем для скалярного произведения векторов р и q: P-q = Pi4i\ A6.6) для длины вектора р: У~ A6.7) для угла ф между векторами р и q: PiQi Компоненты векторного произведения s =p x q подсчитыва- ются по формуле A6.9) которую можно записать и так: s^bilkPflifii- A6.10) Отсюда легко вывести, что смешанное произведение трех векторов r-{pxq) = bijkriPjqk. A6.11) Декартова система координат, условленным образом ориентированная относительно кристаллографической системы, называется кристаллофизической системой координат; установка осей кристаллофизических систем координат для всех классов симметрии кристаллов указана в приложении А. § 16] ДЕКАРТОВЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 133 Будем считать, что каждая из интересующих нас координатных систем задана своим базисом: кристаллографическая — основными векторами решетки аъ а2, а3, кристаллофизическая— ортами 01» #2» ез- Соотношение между кристаллофизической и кристаллографической системами координат вполне характеризуется коэффициентами разложения векторов одного базиса по векторам другого базиса: разложения основных векторов решетки по ортам кристаллофизической системы аа = Аа1е( A6.12) или, наоборот, разложения этих ортов по основным векторам решетки ei = E?aa. A6.13) Составленные из коэффициентов разложения матрицы ||Ла;|| и | Efj взаимно обратны: По определению (см. § 11) ковариантные компоненты метрического тензора равны gap = aa • Яр. Подставив сюда выражения A6.12), получим gafi = AalAv. A6.15) Аналогично найдем ga^ = EfEf. A6.16) Согласно формуле A3.14) определитель матрицы перехода от одного базиса к другому равен отношению объемов ячеек, построенных на базисных векторах. Поэтому = fl, det||£?|]=lM A6.17) где v — объем элементарной ячейки. А так как по формуле A6.15) det G = (del || Ла/||J, то y2. A6.18) Переход от кристаллографической системы координат к кристаллофизической системе, как и обратный переход, — частные случаи подробно исследованных в § 13 переходов от одного векторного базиса к другому. Нужно только принять во внимание, что в кристаллографической системе координат направления и плоскости задаются векторами / = 1ааа и п = пааау длина которых определяется требованием, чтобы компоненты 1а и па были цело- численны и не имели общих множителей. Напротив, в кристал- лофизических системах координат все направления принято задавать векторами единичной длины, так что /г и щ — компоненты единичных векторов, характеризующих соответствующие направления. Так получаем таблицу: 134 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. II Сравниваемые величины Базисные векторы решетки аа и орты в{ Базисные векторы обратной решетки аа и орты а Индексы плоскостей (граней) ла и компоненты единичного вектора щ Индексы направлений (ребер) Vх и компоненты единичного вектора // Переход от кристаллографической системы к кристаллофизиче- CKOft ei = Efaa щ~~лг- 11-у~Йу Переход от кристал- лофизической системы к кристаллографической aa = Aaiei a^Efe, Коэффициент К подбирается так, чтобы индексы оказались целыми и не имели общих множителей. Матрицы ЦАа/11 и \\Е?\\ для всех кристаллографических систем приведены в приложении Б.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Декартовы системы координат» з дисципліни «Основи кристалофізики»
