Индицирование направлений и плоскостей в кристаллах
В § 1 показано, что для каждого кристалла можно ввести кристаллографическую систему координат XYZ, построенную на базисных векторах аъ а21а3, совпадающих с.ребрами элементарном ячейки. Так как векторы аъ а2, as некомпланарны, любой вектор / можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом: / = Ра1 + /2а2 + /3а3. A2.1) Числа /\ I2, Is называются компонентами вектора / относительно базиса ах, аг, а9. 90 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I В обозначениях Эйнштейна / = /ааа. A2.2) Пусть вектор / = 1ааа с целочисленными компонентами 1\ Z2, Is определяет кристаллографическое направление. Если целые числа Z1, Z2, /3 имеют общий множитель я, можно ввести в рассмотрение вектор того же направления, но в п раз короче: /' = 1/п = (/V/t) аг + A*/п) а2 + A*Щ) а3, и его компоненты также будут целочисленны. Условимся поэтому, что деление на все общие множители уже произведено. Компоненты /\ I2 и /3, записанные как [Z1/2/3], в этом случае будут индексами Миллера данного кристаллографического направления, т. е. любой направленной прямой, параллельной данному вектору. Как указывалось в § 1, индексы ряда пишутся в квадратных скобках, например,символы осей координат обозначаются [100], [010], [001]. Совокупность направлений, которые могут симметрично совместиться друг с другом с помощью преобразований симметрии, свойственных данному классу симметрии, пишется в угловых скобках; например, совокупность ребер куба A00), пространственных диагоналей куба A11), диагоналей грани куба (НО). Если некоторые из чисел Ia отрицательны, знак минус пишут над ним, например, направление A10) (читается: один, минус один, нуль). Когда среди индексов Миллера встречаются числа, большие 9, индексы во избежание недоразумений отделяются друг от друга точками, но практически с такими кристаллографическими направлениями приходится иметь дело крайне редко. Если элементарная ячейка не примитивна, то не каждый вектор, проведенный из начала координат в узел решетки, имеет целочисленные компоненты, но для любого кристаллографического направления можно найти определяющий его вектор с целочисленными компонентами: символ узла в центре элементарной ячейки [Р/2 V2V2]], но проведенный через него ряд (пространственная диагональ куба) можно характеризовать символом [111], так как он проходит и через узел [[111]]. Любой набор параллельных плоскостей естественно характеризовать нормальным к ним вектором; если они кристаллографические, т. е. содержат по крайней мере три не лежащие на одной пря- Рис. 12.1. К объяснению символа пло скости. § 12] ИНДИЦИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕНИИ И ПЛОСКОСТЕЙ 91 мой узла кристаллической решетки, их желательно характеризовать вектором с целочисленными компонентами. Из множества параллельных кристаллографических плоскостей выберем какую- нибудь плоскость, пересекающую кристаллографические оси в узлах кристаллической решетки, но не проходящую через начало координат. Положение плоскости однозначно определяется целочисленными отрезками, отсекаемыми ею на осях кристаллографических координат (рис. 12.1). Возможны три случая: 1) имеются три таких отрезка — плоскость не параллельна ни одной из осей координат; 2) плоскость параллельна одной из осей координат; она отсекает целочисленные отрезки на двух других осях; 3) плоскость параллельна двум осям координат — отрезок отсекается только на третьей. Рассмотрим первый случай. Векторы Pd)=P1ai, РB)=Р2<*2, р{3) = р*а3, A2.3) соединяющие начало координат с точками пересечения плоскости с осями, целочисленны. Векторы <7(i)=P(i)-PC) и qw=pi%)-pw A2.4) также целочисленны, они лежат в интересующей нас кристаллографической плоскости, а их векторное произведение к ней перпендикулярно. Удобно разделить его на объем элементарной ячейки у, отчего направление, конечно, не изменится, а порядок сомножителей выбрать таким, чтобы оно было внешней нормалью к грани (считая, что начало координат лежит внутри кристалла). Таким образом, грань характеризуется нормальным к ней вектором ^. A2.5) Подсчитаем его. Подставив в A2.5) выражения для <7A) и д^2) из A2.4), а затем, заменив векторы рщ, рB) иР(з) выражениями A2.3), получим п = 4" (Plai - Р3"з) х (р2а2 - р3а3). Векторное умножение проведем почленно: п = 4" (ргР*<*1 х а2 + рУа3 хаг + р2р*а2 х а3). Заметим теперь, что если почленно разделить векторные произведения базисных векторов на vt получатся базисные векторы обратной решетки: п =- ptpW+pYa2 + plp2a\ A2.6) 92 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I Обозначив пх = /?2/?3» п2 = р3/?1, п3 = ргр2, получим окончательно /i = AZla1 + n2a2 + Az3a3=naaa. A2.7) Числа пъ п2, п3 — компоненты вектора п относительно взаимного базиса axa2a3. Как произведения целых чисел они сами целые. Рассмотрим второй случай. Пусть, например, кристаллографическая плоскость параллельна оси X, а узлы решетки, в которых она пересекает оси Y и Z, соединяются с началом координат целочисленными векторами Тогда плоскость параллельна векторам аA) и д = р{2)—/?C), а вектор нормали к ней можно определить формулой п = ^-агхд. A2.9) Производя такие же вычисления, как и в первом случае, найдем « = pi»>aW+pWa<8>, A2.10) и в этом случае можно записать п = naaa, где „1 = 0, п2 = р&\ п3 = Р12). A2.11) Наконец, рассмотрим кристаллографическую плоскость, параллельную осям X и Y и пересекающую ось Z в положительной ее части. Так как она параллельна векторам аг и а2, можно сразу записать л^-^-^хаа^а3. A2.12) В выражении п = naaa nx = п2 = 0, п8 = 1 (если бы плоскость пересекала ось Z в ее отрицательной половине, нужно было бы поставить сомножители в обратном порядке, тогда п = —а3 и соответственно п3 = — 1). Таким образом, вектор нормали к возможной или действительной грани кристалла во всех случаях можно выбрать так, чтобы он имел целочисленные компоненты относительно базиса обратной решетки. Эти компоненты и есть индексы Миллера грани (плоскости) (см. § 1); они записываются так же, как и индексы направления (ребра), но не в квадратных, а в круглых скобках (пхП2п3). Если они имеют общий множитель, их следует на него разделить *). Три индекса в круглых скобках называются символом грани (плоскости). Индексы Миллера грани обратно пропорциональны компонентам векторов, проведенных из начала координат в точки пересечения грани с осями координат. Действительно, когда данная грань •) В задачах рентгеноструктурного анализа это не всегда допустимо, $ 12] ИНДИЦИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕНИИ И ПЛОСКОСТЕЙ 93 пересекается со всеми тремя осями, из A2.6) следует, что а когда она пересекается с двумя осями, скажем, Y и Z, из A2.11) следует «2:«з = -^г:7!5Г. A2.14) Координатные плоскости характеризуются символами: (ЮО) — YOZ, @10) — ZOX и @01) — XOY. Итак, введены два векторных базиса: базис решетки al9 a2t а3 и базис обратной решетки а1, а2, а3. Показано, что вектор /, характеризующий кристаллографическое направление, можно выбрать так, чтобы его компоненты /\ /2, I3 относительно базиса решетки были целочисленны, а вектор нормали к кристаллографической плоскости п — так, чтобы были целочисленны его компоненты п19 п2, п3 относительно базиса обратной решетки. Конечно, можно разложить вектор / по базисным векторам обратной решетки, а вектор п — по базисным векторам прямой решетки, но при этом будет утеряна целочисленность компонент, а вместе с ней — и кристаллографическое значение данного направления или данной плоскости. Таким образом, нужно уметь выбрать базис, удобный для описания кристаллографического объекта. Доказывая целочисленность индексов Миллера для кристаллографических плоскостей, мы исходили из представления о кристаллической решетке. До появления рентгеноструктурного анализа и экспериментального доказательства дискретности строения кристаллов индицирование граней кристаллов основывалось на законе рациональности параметров (закон целочисленных отношений), сформулированном Гаюи в 1781 г. Наряду с законом постоянства углов закон Гаюи является основным эмпирическим законом кристаллографии; он устанавливает закономерность расположения граней на кристаллических многогранниках и объясняет, почему на кристаллах появляются именно те или другие грани. Закон рациональности параметров гласит: двойные отношения отрезков, отсекаемых на трех ребрах кристалла, выбранных в качестве осей координат, а) любой гранью кристалла и б) некоей его гранью, принятой за единичную, равны отношению малых целых чисел. Выберем в кристаллическом многограннике три непараллельные грани и примем их за координатные плоскости, а ребра, по которым пересекаются эти грани, — за оси координат. Выберем также еще одну, так называемую единичную грань. Единичная грань, не параллельная ни одной из координатных граней, отсекает на осях координат отрезки ОА, 05, ОС — так называемые параметры грани. По закону рациональности параметров для любой другой 94 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ ГГЛ. I грани кристалла, отсекающей на осях координат отрезки ОА\ ОВ\ ОС\ двойное отношение равно О А ОБ ОС /1О 1СЧ ::т:п:Р A2Л5> где m, n, p — целые числа, в подавляющем большинстве случаев не превышающие 5. Грани, для которых двойное отношение параметров является иррациональным, невозможны для кристалла. Если отношения параметров взаимно простые, целые, но большие числа (больше 5), то грань возможна, но чрезвычайно маловероятна. Для кристаллографии закон Гаюи имеет такое же значение, как для химии закон кратных отношений Дальтона. По закону кратных отношений Дальтона возможны не любые соединения химических элементов, а лишь те, в которых элементы находятся в соотношениях целых чисел. По закону целых чисел Гаюи на кристаллическом многограннике возможны не любые грани, а лишь те, для которых двойные отношения отрезков, отсекаемых данной гранью и некоторой «единичной» гранью, равны отношению целых простых чисел. Хотя закон рациональности параметров был установлен только на основании изучения внешних форм кристаллов и в те времена, когда существовали лишь самые смутные догадки о структуре кристаллов, за четверть века до закона Дальтона, но, по существу, он был первым числовым законом, определяющим атомно-молеку- лярное строение вещества. В самом деле, смысл закона рациональности параметров легко и просто объяснить теперь, когда известно, что частицы в кристалле расположены правильными закономерными рядами и что любое ребро кристалла соответствует ряду частиц в решетке. Если какие-то три ребра кристалла выбраны за оси координат, это равносильно тому, что за оси координат приняты три некомпланарных трансляции в решетке. Так как любая грань кристалла соответствует плоской узловой сетке решетки, она должна проходить и через узлы, расположенные на осях X, У, Z. В сущности говоря, смысл закона Гаюи сводится к тому, что грани кристалла всегда соответствуют плоским сеткам кристаллической решетки, а ребра кристалла всегда соответствуют узловым рядам решетки. Кроме того, реальные грани кристалла, как правило, соответствуют плоским сеткам с наибольшей ретикулярной плотностью — этим объясняется то, что индексы грани не только целые, но и малые числа. Такое толкование этого закона легко дать теперь, когда решетчатое строение кристаллов установлено экспериментально и хорошо изучено. Однако исторически был пройден гораздо более трудный путь, а именно, от наблюдения внешних форм кристаллических многогранников, от измерения относительных наклонов граней кри- § 12] ИНДИЦИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕНИЙ И ПЛОСКОСТЕЙ 95 сталлов к первым догадкам о периодическом строении кристаллов, к умозрительным теориям строения кристаллов, лишь позднее доказанным экспериментально. Первые представления о закономерном строении кристаллов были высказаны именно в связи с законом целочисленных отношений. Изучение симметричной многогранной формы кристаллов привело к пониманию внутренней соразмерности их строения. Закон рациональности параметров остается в силе, даже если оси координат, выбранные по ребрам кристаллического многогранника, не соответствуют ребрам элементарной ячейки. Все равно эти ребра должны быть параллельны каким-либо рядам точек в решетке, а расстояние между ними неизбежно делится на равные отрезки системами параллельных плоскостей, которым параллельна всякая грань кристалла. Из закона рациональности параметров следует, в частности, что любую грань кристалла и любую узловую плоскость в кристаллической решетке можно определить тремя целыми небольшими числами, если за оси координат выбрать направления трех ребер кристалла, а за единицы измерения по этим осям принять отрезки, которые отсекает на этих осях одна из граней кристалла. Посредством индексов Миллера в принципе можно описывать кристаллографические плоскости и направления в любых кристаллах. Однако индексами Миллера, отнесенными к гексагональной системе координат, кристаллографы не пользуются, предпочитая им индексы Бравэ *). Это объясняется стремлением характеризовать симметрически эквивалентные плоскости и направления в каком-то смысле «похожими» наборами индексов, а индексы Миллера, отнесенные к гексагональной системе координат, этим свойством не обладают. Так, векторы аъ а2 и —ах—а2 определяют симметрически эквивалентные направления, а индексы Миллера двух из них [100] и [010] существенно отличаются от индексов Миллера третьего направления [ПО]. Чтобы полностью выявить симметрию кристаллов гексагональной сингонии, используют четырехосную систему координат: в базисной плоскости, в дополнение к осям X и У, направленным по ах и а2 соответственно, вводится еще ось (/, направленная по вектору —ах —а2. По главной оси симметрии по-прежнему направлен вектор аъ и соответственно ось Z (рис. 12.2). Кристаллографические плоскости и направления характеризуются теперь ориентировкой относительно всех четырех осей и соответственно четырьмя индексами, которые называются индексами Бравэ. Сумма первых трех индексов Бравэ всегда равна нулю. *) Для описания кристаллов тригональной системы иногда применяют и индексы Миллера, но отнесенные не к гексагональной, а к ромбоэдрической системе координат (см, § 13), 96 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I Индексы Бравэ для кристаллографического направления / — это коэффициенты разложения вектора / по четырем векторам а19 а2> —#i —#2» аз ПРИ условии, что сумма первых трех коэффициентов равна нулю. Из этого определения вытекает способ перехода от обычной векторной записи к индексам Бравэ. Вектор кристаллографического направления A2.16) (/\ /2, /8 — целые числа) можно записать в виде / = /iai + /2а2 + 0 (— аг - о,) + /За3. Числа /\ /2, 0, Is отличаются от индексов Бравэ только тем, что сумма первых трех чисел не равна нулю. Прибавим к вектору / вектор т = тах + та2 + т (—ах —а2) = 0. Очевидно, Положим т = — (I1 + Z2)/3, тогда сумма трех первых индексов, как и следует, окажется равной нулю. Чтобы индексы были целыми, умножим все коэффициенты на 3. ([Will Итак, для кристаллографического направления индексы Бравэ равны Y[W0] г2/1 _ /2# 2/2 -11. — I1 - /2. З/8]. № A2Л7> [1010] Если окажется, что полученные индексы Бравэ обладают общим множителем, их, конечно, следует на него сократить. По индексам Бравэ [rVW4] кристаллографического направления легко найти характеризующий его вектор /. По определению: / = гхах + г2а2 + г3 ( — аг—а2) + г*ав. Приведя подобные члены, получим Д2118] Рис. 12.2. Символы основных направлений в гексагональной ячейке. / = (ri - г8) аг + (г2 - г8) а2 + г*аг, A2.18) что и является решением поставленной задачи. Индексы Бравэ для симметрически эквивалентных направлений действительно похожи. Например, оси X, Y и U характеризуются символами [21 ТО], [1210] и [1120] соответственно (см. рис. 12.2). Индексы Бравэ для кристаллографических плоскостей — это коэффициенты разложения вектора нормали к кристаллографиче- § 12] ИНДИЦИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕНИЙ И ПЛОСКОСТЕЙ 97 ской плоскости п по четырем векторам: 4 «1-4*. ftf-J-a». -\tf-\a\a\ A2.19) причем сумма первых трех коэффициентов равна нулю. Для плоскости, характеризуемой вектором п = п^1 + п2а2 + п3а\ A2.20) индексы Бравэ равны {пх. п2. -пг-п2. п3). A2.21) Напротиз, кристаллографическая плоскость с индексами Бравэ характеризуется вектором /i = /71a1 + p2a2 + p4a8. A2.22) Согласно общепринятому в кристаллографии определению, индексы Бравэ кристаллографических плоскостей — это не имеющие общих множителей целые числа, обратно пропорциональные выраженным в осевых единицах отрезкам, отсекаемым данной плоскостью на осях X, У, (/, Z соответственно. Поэтому необходимо доказать, что данное выше формальное определение индексов Бравэ и приведенное здесь общепринятое их определение эквивалентны. Как следует из общей тео- ремы, выведенной в начале этого параграфа, компоненты Пи П9, Пч ВекТОра П ОбраТНО Рис 123- К Доказательству теоремы о том, » > o^rLiyj^a « v^amy что иидексы Бравэ плоскости пропорциональ- ПрОПОрЦИОНаЛЬНЫ ВЫражеН- ны отрезкам, отсекаемым этой плоскостью на ным в осевых единицах от- осях х Y z И и резкам, отсекаемым данной плоскостью на осях X, У и Z. Но эти компоненты равны первому, второму и четвертому индексам Бравэ соответственно. С другой стороны, если некоторая плоскость отсекает на осях X и Y отрезки d/tix и d/n2 соответственно, то отрезок, отсекаемый ею на оси U, равен dl(—пх—п2). Действительно, рассмотрим рис. 12.3. Прямая MN — линия пересечения базисной плоскости с плоскостью, определяемой вектором п. В точках Л, В, С, лежащих на этой прямой, плоскость п пересекает оси X, У, 0 соответственно. Очевидно, ОА = dlnx и OB = d/n2. На оси U отсекается отрезок ОС. Проведем отрезки СА' \\ ОВ и СВ'\\ОА. Так как /_АОС = £ВОС = = 60°, ясно, что треугольники ОСА' и ОСВ' равносторонние. Теперь, пользуясь подобием треугольников А'С А и В'СВ% составим 4 Ю. 11. Сиротин, М П. Шаскольская 98 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. ! пропорцию А'С:А'А= В'В : В'С, или d/n™oc из которой найдем (d/n2) _ d что и требовалось доказать. В табл. 13.1 (см. § 13) для наиболее употребительных направлений и плоскостей приведены индексы Бравэ и индексы Миллера, отнесенные к гексагональной системе координат (т. е. коэффициенты 1а разложения вектора кристаллографического направления / = 1ааа по базисным векторам аъ a2t as гексагональной решетки и коэффициенты пр разложения вектора нормали к кристаллографической плоскости п = щаР по базисным векторам а1, а2, а3 обратной решетки).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Индицирование направлений и плоскостей в кристаллах» з дисципліни «Основи кристалофізики»
