В гармоническом приближении колебательные движения атомов кристалла удобно рассматривать, вводя нормальные координаты, как колебания 3Ns независимых осцилляторов. При квантовомеханическом рассмотрении энергии этих осцилляторов квантуются, а квант энергии осциллятора носит названия фонона. Таким образом, задача анализа колебательных возбуждений кристалла сводится к рассмотрению механики одномерного осциллятора. Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора имеет вид:
Решение стационарного уравнения Шредингера
с таким гамильтонианом переводит его в стандартное дифференциальное уравнение, а именно в уравнение Эрмита. Требование физической реальности - убывание волновой функции на бесконечности, т.е. условие, чтобы волновые функции имели интегрируемый квадрат (условие нормировки) – приводит к тому, что энергетические уровни квантового осциллятора принимают только некоторые дискретные значения
где V – колебательное квантовое число. Основное состояние имеет энергию h(/2 и называется нулевой энергией осциллятора, а энергетические уровни представляют собой эквидистантные уровни энергии. Волновые функции состояний с квантовым числом V выражаются через полиномы Чебышева-Эрмита и имеют вид
где HV[x(m(/h)1/2] – полиномы Эрмита. Вид первых нескольких уровней и волновых функций этих возбужденных состояний показаны на рис.*.
Из этих выражений ясно, что энергия осциллятора равномерно распределена по уровням, и он может принимать энергию только в количестве, кратном h(. Степень вырождения каждого состояния линейного гармонического осциллятора равна единице. Гармонический осциллятор в трехмерном пространстве можно представить как совокупность трех линейных гармонических осцилляторов с энергией, зависящей от трех квантовых чисел n1, n2, n3
En1+En2+En3= h( (n1+n2+n+3/2) = h( (n+3/2)
Здесь n=n1+n2+n3. Поскольку есть много возможностей выбрать три целых числа n1, n2, n3 так, чтобы получить данное целое число n, то уровни энергии трехмерного осциллятора вырождены. Например, для первого возбужденного состояния с n=1 можно выбрать три варианта: n1=1, n2=n3=0, или n2=1, n1=n3=0 или n3=1, n1=n2=0. Эти три различных колебательных состояния отвечают движению вдоль направлений x,y,z и соответственно имеют одну и ту же энергию. Для более высоких возбужденных состояний имеется еще больше комбинаций из трех чисел, сумма которых определяет энергию данного уровня. Поэтому при суммировании по состояниям нужно вводить соответствующий весовой множитель g, который учитывает это обстоятельство и называется кратностью вырождения состояния. Легко можно найти всевозможные комбинации трех чисел, составляющие в сумме заданное число и в общем случае. Очевидно, имеется n+1 возможность выбора первого числа, скажем r(=0,1...,n); второе число можно выбрать между 0 и n–r, следовательно, для него имеется n–r+1 возможность; третье квантовое число определится уже точно. Поэтому степень вырождения g уровня с квантовым числом n равна
.
Кратность вырождения состояний трехмерного осциллятора для первых нескольких уровней показана на рис.*. Кристалл, содержащий s атомов в элементарной ячейке и имеющий N элементарных ячеек, можно рассматривать как совокупность 3sN линейных осцилляторов, а не как sN трехмерных осцилляторов, поскольку уравнения движения этих осцилляторов полностью разделяются. Квант энергии колебаний кристаллической решетки – фонон – отличается величиной энергии h(j(к), волновым вектора k ,а. значит импульсом hk, и номером ветви j. Число колебательных ветвей равно 3s, число различных значений волнового вектора k – N, так что в кристалле может существовать 3sN различных фононов. В гармоническом приближении фононы по многим свойствам ведут себя подобно идеальному газу. Все они движутся независимо друг от друга и не взаимодействуют друг с другом. Поэтому кристалл можно рассматривать как сосуд, а фононы – как точечные частицы в k-пространстве. Отличие подобной системы от идеального газа заключается лишь в том, что число фононов, вообще говоря, не сохраняется. При повышении температуры, когда кристалл получает тепловую энергию, появляются новые фононы, а при охлаждении число фононов уменьшается. Фононы – частицы без спина и поэтому подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Действительно, относительная вероятность найти систему (осциллятор) при температуре T в состоянии с энергией Ej равна Wj=gjexp(–Ej/kT), где gj – степень вырождения состояния j. Поскольку полная вероятность найти систему в любом из возможных состояний равна единице, то абсолютная вероятность pj найти ее в состоянии с энергией Ej равна . Тогда среднее значение энергии E системы с набором стационарных состояний Ej можно вычислить следующим образом.
Здесь суммирование ведется по всем состояниям системы от j=1 до j=(. Для гармонического осциллятора с энергией En=h((n+1/2) это выражение можно записать следующим образом
.
Поэтому среднее значение энергии осциллятора при температуре T равно энергии нулевых колебаний плюс величине кванта h(, домноженного на величину n=1/[exp(h(/kT)-1], называемую фактором Бозе-Эйнштейна, который показывает среднее число фононов h( в кристалле при температуре Т. При низких температурах, когда kT<<h(, число фононов n(Т)( exp(–h(/kT), т.е. растет экспоненциально с увеличением температуры. В то же время при высоких температурах, когда kT>>h(, число фононов в кристалле n(T)( kT/h( и изменяется пропорционально температуре T. Поэтому увеличение тепловой энергии в кристалле можно рассматривать как процесс рождения новых фононов. С другой стороны, если кристалл охлаждается и отдает энергию, это означает, что фононы уничтожаются или аннигилируют. Процесс рождения и уничтожения фононов удобно представить с помощью квантовомеханических операторов рождения и уничтожения, действующих на функцию состояния системы. Гамильтониан одиночного гармонического осциллятора, записанный через сопряженные координату x и импульс p, имеет следующий вид:
Сопряженные операторы координаты x и импульса p подчиняются соотношению коммутации (скобки Пуассона) такого типа [x,p]=ih. Можно выбрать новые операторы рождения a+ и уничтожения а возбуждения, введенные как линейные комбинации операторов координаты и импульса с помощью простого преобразования
Коммутационные соотношения для этих операторов проще и имеют вид
[a,a+]=1 Выражая теперь H через эти операторы, получаем
Таким образом, гамильтониан имеет вид
Квантовые свойства системы определены этим гамильтонианом и операторами рождения а+ и уничтожения a возбуждения. Поскольку произведение вида а+а встречается довольно часто и играет важную роль, часто определяют оператор
Х=а+а.
Скобки Пуассона оператора Х с оператором a и a+ выглядят так [Х,а] = Ха-аХ = а+аа-аа+а = (а+а-аа+)а = -а Аналогично находим [Х,a+] = a+
Как легко видеть из выражения для гамильтониана, его собственные значения определяются собственными значениями оператора Х=а+а. Эти собственные значения - целые положительные числа, поскольку решение для гармонического осциллятора хорошо известно. Пусть собственные вектора или волновые функции ( (собственные состояния) обозначаются по Дираку как | >. Это - "кет-вектор". Вектор, комплексно сопряженный кет-вектору, т.е. (* записывается < | и называется "бра-вектор". Запись <|A|> означает интеграл вида
и называется "бра-кет". Это удобные обозначения для работы с операторами рождения и уничтожения возбуждений. Для оператора Х можно написать
Х|>=n|> Здесь n - натуральное положительное число. Легко проверить, что действие операторов Ха и Хa+ на состояние |> дает
Ха|>=а(Х–1)|>=а(n–1)|>=(n–1)а|> ; Ха+|>=(n+1)a+|>
Поэтому а|> и a+|> можно рассматривать как собственные состояния оператора Х, имеющие собственные значения n–1 и n+1 соответственно. Тогда, если рассматривать наинизшее состояние |0>, то собственному состоянию a+|0>, согласно написанному уравнению, соответствует собственное значение n=1. Следовательно, состояние a+|0> можно записать так:
a+|0>=|1> const.
Повторяя этот процесс n раз, получим
a+|n>=|n+1>const.
Аналогично действие оператора а на систему выглядит так:
а|n>=|n-1> const.
Константы, входящие в эти выражения, можно получить, так что действие операторов рождения и уничтожения возбуждения выглядит следующим образом:
a+|n>=(n+1)1/2|n+1> a|n>=(n)1/2|n–1> Таким образом, действие оператора a+ переводит систему в ближайшее более высокое состояние. Отсюда термин "оператор рождения". Оператор a, действуя на собственное состояние системы, переводит ее в ближайшее более низкое состояние; отсюда термин "оператор уничтожения".
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гармонический осциллятор» з дисципліни «Фізика кристалів»
