Характер решений в предельном случае бесконечно длинных волн, т.е. при k = 0 можно получить из рассмотрения дисперсионного уравнения:
,
Ясно, что амплитуды Al((k) получаемых решений вещественны (возможно с точностью до постоянного комплексного множителя), когда коэффициенты D(((k,l,p) однородной системы уравнений для амплитуд вещественны. Но для k=0 и kai=( множитель exp[ik(rm–rn)] в выражении для D равен (1, и тогда D вещественно, и для предельных длинных и предельно коротких волн амплитуды вещественны. Другой важный случай, когда смещения вещественны соответствует ситуации, когда каждый атом решетки является центром инверсии, т.е. когда каждой паре атомов nl и m′p′ может быть сопоставлен атом m′′p′ такой, что rm′p′–rnl=-(rm′′p′–rnl). В этом случае энергия взаимодействия этих атомов одинакова Ф(m′–n,l,p′)=Ф(m′′–n,l,p′), и в выражении для D суммирование можно разбить на два полупространства:
,
В этом случае амплитуды Al( вещественны и, следовательно, характеризуют реальные отклонения атомов от положения равновесия. Строгое рассмотрение хода решений (j(k) при k=0 представляет некоторые трудности из-за неаналитичности решений при k=0. Однако, для некоторых ветвей ход зависимостей можно легко понять, ограничившись рядом простых и наглядных соображений. Положим в уравнении для амплитуд
.
величину волнового вектора и частоту равной нулю: k=0 и (=0. Тогда
или
и имеется решение Ap((0)=A((0), для которого вещественные амплитуды одинаковы для всех атомов с номером p, поскольку тогда выполняется
Это является следствием свойств потенциальной энергии кристалла, поскольку сумма
автоматически равна нулю из-за инвариантности потенциальной энергии кристалла относительно произвольных смещений вдоль трех ортогональных осей x,y,z, т.е. для (=x,у,z. Поэтому есть три ветви, для которых при k=0 частота ω=0. Эти три ветви называются акустическими ветвями. Решения для остальных ветвей в принципе ясны из одномерного случая, но осуществить решение для трехмерного случая не так просто. С другой стороны, именно для трехмерного случая есть смысл делать расчеты, чтобы сопоставить их с экспериментом. Вообще говоря, при решении подобных задач нельзя ограничиться взаимодействием только с ближайшими соседями. Например, для ионных кристаллов потенциал взаимодействия спадает с расстоянием очень медленно, как 1/r. В ряде случаев важен учет деформации ионов при колебаниях. Это особенно важно учитывать для гомополярных кристаллах, поскольку колебания атомов могут деформировать электронную плотность на ковалентных связях. Тем не менее, с появлением доступной мощной вычислительной техники в последние годы появилось много расчетных программ для решения подобных задач. Необходимо отметить, что решение дисперсионного уравнения нет необходимости проводить для всех различных значений волнового вектора k в зоне Бриллюэна. Поскольку зона Бриллюэна обладает симметрией прямой решетки и еще центром инверсии, можно найти так называемый неприводимый элемент зоны, который при применении различных операций симметрии позволяет получить всю зону. Для кубической решетки таким неприводимым элементом зоны является 1/48 часть первой зоны Бриллюэна. Решение колебательной задачи в виде плоской волны Uln(=Al(exp[i((t–krn)], где частота ( может принимать N значений в 3s ветвях (j(k), указывает, что каждый атом совершает ряд движений с разными частотами. Как и в случае молекулы, можно найти систему координат, в которой и кинетическая и потенциальная энергия системы принимает квадратичную форму, а смещения частиц описываются нормальными координатами. Оставляя вопрос о нахождении такого преобразования до следующего параграфа, заметим, что совокупности смещений, образующие нормальные координаты, должны преобразовываться по неприводимым представлениям каких-либо точечных групп. Для k=0 (центр зоны Бриллюэна, точка Г), эта группа – фактор-группа кристалла, изоморфная точечной группе симметрии кристалла. Для остальных точек зоны Бриллюэна точечная группа, по неприводимым представлениям которой преобразуются нормальные координаты с k(0 определяется симметрией соответствующей точки зоны Бриллюэна. Например, в кубической решетке точки Г обладает голоэдрической симметрией решетки Браве m3m, точка X – симметрией 4/mmm, точка L – 3m и т.д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ХОД ВЕТВЕЙ КОЛЕБАНИЙ В ЗОНЕ» з дисципліни «Фізика кристалів»
