Рассмотрим бесконечную одномерную цепочку, показанную на рис.27, элементарная ячейка которой содержит 2 частицы. Трехмерным аналогом такой модели могут быть кристаллы NaCl, KBr и др. Постоянная решетки a=a′/2, a′–расстояние между соседними атомами, массы частиц – m1>m2, упругие силовые постоянны – (1=(2=(. Будем использовать четную нумерацию для частиц массы m1 и нечетную – для частиц массы m2. Соответствующие смещения U2n и U2n+1.
Рис.27. Двухатомная линейная цепочка а) модель цепочки с массами m1>m2 и постоянной решетки a=2a′. На рисунке выделена элементарная ячейка. Тяжелые атомы решетки m1 имеют нечетные номера, а более легкие атомы m2 – четные; б) дисперсионная зависимость ((k) для двухатомной линейной цепочки. 1 – дисперсивная область (зона собственных колебательных состояний); 2 – реактивная область (запрещенная зона частот). Дисперсионные зависимости (акустическая и оптическая ветви) непрерывны в зоне Бриллюэна и имеют экстремумы как в центре зоны (k=0), так и на ее границе (k=(/a). В этом случае колебания цепочки представляют собой стоячую волну.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение частиц, имеет бесконечное число уравнений, имеющих для легкой и тяжелой частицы следующий вид:
Решение этой системы ищем в виде, удовлетворяющем теореме Блоха, т.е. в виде периодической функции, определенной в элементарной ячейке, домноженной на фазовый множитель expi(k,rn).
где A1 и A2 – амплитуды смещений частиц массы m1 и m2, ( – частота колебаний, а k – волновой вектор возбуждения. Подстановка этих решений в бесконечную систему дифференциальных уравнений приводит eё к однородной системе из двух алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд колебаний А1 и А2. Чтобы система имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо, чтобы ее детерминант равнялся нулю. Это дает связь между частотой возбуждения ( и волновым вектором k, которая, как известно, носит название дисперсионного соотношения: A1(m1(2–2()+A22(coska′=0 A12(coska′+A2(m2(2–2()=0
.
Поскольку 1–2sin2ka′=coska, дисперсионное соотношение можно записать так:
Если частота ( удовлетворяет дисперсионному уравнению, можно найти соотношение амплитуд А1 и А2 соответствующих волновых возбуждений, а из начальных условий можно найти и сам амплитуды. Поскольку дисперсионное условие имеет два корня (1, (2 каждому значению волнового вектора k соответствует две волны. В зависимости от k возбуждения цепочки имеют целый набор частот – ветвь (рис.28).
Рис.28. Вид акустических (a) и оптических (б) колебаний двухатомной цепочки для значений волновых векторов k=0 (1), k=(/a (2) и волнового вектора внутри зоны Бриллюэна k=(/7a (3). Колебания с волновым вектором k=(/a на границе зоны Бриллюэна представляют собой стоячие волны. В акустической ветви колеблются тяжелые атомы, а легкие покоятся; в оптической ветви колеблются легкие атомы, а тяжелые находятся в покое.
Таким образом, дисперсионная кривая имеет две ветви – акустическую (знак –) и оптическую (знак +). Так как дисперсионная зависимость ((k) периодична по k с периодом 2(/a, нет необходимости рассматривать вс возможны значения k. Область изменения волнового вектора k выбирается симметричной (–(/a, +(/a ), чтобы учесть волны, бегущие в противоположных направлениях. Эта область носит название первой зоны Бриллюэна.
Легко получить значения частот при k=0 и на границе зоны Бриллюэна (k=(/a):
центр зоны Бриллюэна граница зоны Бриллюэна Акустическая ветвь (a=0 (а=(2(/m1)1/2 Oптическая ветвь (о=(2((1/m1+1/m2))1/2 (o=(2(/m2)1/2
Внутри зоны ветви непрерывны. Ход ветвей вблизи центра зоны Бриллюэна при k(0 можно получить, рассматривая разложение дисперсионой зависимости ((k) в ряд по k, и учитывая, что сoska (1–k2a2/2+...: Акустическая ветвь (знак –):
Скорость этой волны является скоростью звука, поскольку:
.
Оптическая ветвь (знак +):
Оптическая ветвь, таким образом, имеет максимум при k=0, а вблизи центра зоны Бриллюэна имеет параболическую зависимость от волнового вектора.
Ход ветвей на границе зоны Бриллюэна (k=(/a) также можно получить, разлагая ((k) в ряд в этой точке и учитывая, что :
сoska ( сos((–()=–сos( =–1+(2/2+...
1. Акустическая ветвь (знак –):
Групповая скорость волны равна Vгр=(d(/dk)k=0=0 , т.е. это – стоячая волна.
2. Оптическая ветвь (знак + ): . Таким образом, частоты акустической и оптической ветви вблизи границы зоны Бриллюэна меняются по параболическому закону, а групповая скорость волны на границе зоны Бриллюэна равна нулю, т.е. это – стоячая волна.
Если ограничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри зоны гладки. Обе ветви идут не пересекая друг друга и имеет место область запрещенных частот от значения (2(/m1)1/2 до (2(/m2)1/2. Характер движения частиц в ветвях можно получить, вернувшись к алгебраическим уравнениям для амплитуд А1 и А2. Если А1/А2>0, то движения частиц происходит в фазе, если А1/А2(0 – в противофазе. Используя второе уравнение для амплитуд для нулевого волнового вектора, можно получить: . В акустической ветви (знак плюс) это отношение равно +1: (А1/А2)ak=(m1–m2+m1+m2)/2m1=+1 , т.е. частицы с массами m1 и m2 движущая в фазе. В оптической ветви (знак минус) это отношение отрицательно:
(А1/А2)opt=(m1–m2–m1–m2)/2m1= –m2/m1,
т.е. частицы колеблются в противофазе, а амплитуды движений обратно пропорциональны массам. Важно, что если на частицах 1 и 2 есть заряды, то такое колебание сопровождается изменением дипольного момента элементарной ячейки и, значит, оно может взаимодействовать со светом. Поэтому ветвь таких колебаний называется оптической. В случае малых волновых векторов можно получить, что для акустической и оптической ветвей справедливо
(А1/А2)ak=1+k2(; (А1/А2)opt= –(m2/m1)(1–k2( ), где ( = (m1–m2)/8(m1+m2)
В акустических колебаниях отношение амплитуд возрастает, а в оптических – уменьшается, но колебания тяжелых и легких частиц остаются в противофазе. Вблизи границы зоны Бриллюэна при k=((–()/a, coska( –1+(2/2+…, и отношения амплитуд имеет вид:
,
.
Поскольку в цепочке m1–m2>0, то в колебаниях оптической ветви движения происходят в противофазе, причем при ((0 (А1/А2)opt(0, т.е тяжелые частицы покоятся, а легкие движутся. Длина волны при этом минимальна и равна (=2a. В акустической ветви при колебаниях на границе зоны частицы движутся в фазе. При уменьшении ( отношение (А1/А2)ak возрастает и при ((0 стремится к бесконечности. Это означает, что легкие частицы покоятся, а тяжелые движутся. Вид этих колебаний приведен на рис.28.
Рис.28. Вид акустических (a) и оптических (б) колебаний двухатомной цепочки для значений волновых векторов k=0 (1), k=(/a (2) и волнового вектора внутри зоны Бриллюэна k=(/7a (3). Колебания с волновым вектором k=(/a на границе зоны Бриллюэна представляют собой стоячие волны. В акустической ветви колеблются тяжелые атомы, а легкие покоятся; в оптической ветви колеблются легкие атомы, а тяжелые находятся в покое.
Для цепочки конечных размеров можно использовать циклические граничные условия Борна–Кармана, устанавливающие идентичность атома n и n+N:
Un=Un+N; exp[i(((t+2nka′)]=exp[i(((t+(2n+N)ka′)]
exp[iNka′]=1; Nka′=2(p; p=0,1,2...N–1;
–(/a<k=p2(/Na<+(/a; –N/2<p<+N/2
Таким образом, имеется N различных волновых векторов k, причем каждому волновому вектору k соответствует два колебания с частотами (ak и (opt, так что полное число типов движений ограничено и равно 2N (N – для оптической ветви и N – для акустической). Трансформация ветвей в зоне при изменении периода решетки показана на рис.29.
Как и в случае одноатомной цепочки можно рассмотреть функцию плотности частот в ветвях g(()=dZ/d(, определяемую как число мод (типов колебаний) dZ, приходящихся на единичный интервал частот d(. Ясно, что существует две области частот, где g(() отлична от нуля. Эти области соответствуют акустической и оптической ветвям. Они разделены запрещенной областью частот, где g(()=0. В граничных точках зоны Бриллюэна функция плотности частот стремиться к бесконечности, что является следствием приближения ближайших соседей. Полное число колебаний в цепочке конечно и равно 2N, так что
.
При рассмотрении реальной двухатомной цепочки необходимо учесть, что частицы могут смещаться не только вдоль цепочки, но и поперек, т.е. каждая частица будет иметь 3 степени свободы. Поэтому уравнений движения будет в 3 раза больше, и в 3 раза больше будет решений. Для каждого волнового вектора k будет существовать шесть волн с различными частотами, т.е. дисперсионная кривая будет иметь шесть ветвей. Три из них имеют частоты равные нулю при k(0 (трансляционные движения частиц в фазе вдоль и поперек цепочки) и являются акустическими, остальные три – оптические.
Рис.29.Трансформация ветвей в зоне при изменении периода решетки. а) Ветвь одноатомной цепочки с периодом a и одним атомом массы m в элементарной ячейке (сплошная кривая) переходит в две ветви типа А (акустическая) и О (оптическая) в случае неконгруэнтности (отсутствия трансляционной инвариантности) атомов (m1(m2). Поскольку элементарная ячейка в этом случае должна имеет удвоенный размер a′=2a, частоты обоих ветвей на границе зоны почти равны (=((/m1 ( (=((/m2 . В этом случае говорят, что зона Бриллюэна складывается в направлении k(. Трехмерный аналог этого случая – кристаллы C, Si, Ge, в решетке которых 2 атома в элементарной ячейке, и в которых в направлении (100) LA и LO ветви вырождены в точке X зоны Бриллюэна (см. рис.41). б) Складывание зоны Бриллюэна в случае двухатомной линейной цепочки. Появление сверхструктуры с периодами a′=2a, a′′=4a и т.д. приводит к последующему уменьшению зоны Бриллээна и увеличению числа частот в центре зоны с k=0. в) мягкие моды в линейной двухатомной цепочке: 1– равновесная конфигурация цепочки с постоянной a и массами m1 и m2; 2 – оптическое колебание в этой цепочке с k=0. При «замораживании» смещений число частиц в ячейке не изменяется; 3 и 4 – оптическое и акустическое колебания двухатомной цепочки с волновым вектором k=(/a, т.е. на границе зоны Бриллюэна. При «замораживании» этих колебаний (т.е. смещений) число частиц в элементарной ячейке удваивается; 5 – замороженная конфигурация акустической моды 4, приводящая к цепочке с элементарной ячейкой удвоенного размера. Штриховкой показана неконгруэнтность атомов в новой ячейке . Смещения частиц в этой конфигурации полностью подобны смещениям в случае 4, но представляют теперь нормальное колебание с волновым вектором k=0. Случаи 4 и 5 иллюстрируют складывание зоны, показанной на рис.28б, и переход точки с k=(/a в точку k=0 зоны Бриллюэна другой фазы.
В общем случае при наличии s частиц в элементарной ячейке полное число степеней свободы ячейки равно 3s. Полное число ветвей тогда будет 3s. Из них 3 ветви акустические, остальные 3s–3 ветви – оптические (рис.30).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ОДНОМЕРНАЯ ДВУХАТОМНАЯ ЦЕПОЧКА» з дисципліни «Фізика кристалів»
