КВАЗИТРИГОНОМЕТРИЯ И КРИВОЛИНЕЙНОСТЬ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Квазитригонометрия - это совсем новый раздел математики и создавался в качестве прикладного для доказательства Великой Теоремы Ферма. В квазитригонометрии исследуется многомерная симметрия чисел и их форм. ВВЕДЕНИЕ. Здесь рассмотрим вопрос теории чисел, имеющий "основное значение для всякого глубокого математического исследования" и связанного с аксиомой Кантора – соответствия "между всеми действительными числами, с одной стороны, и точками прямой, с другой стороны", гласящего "каждому рациональному или иррациональному числу отвечает точка, имеющая это число своей координатой; каждой точке на прямой отвечает в качестве координаты рациональное или иррациональное число" [19]. Так как аксиома Кантора - это многие обобщения, которые необходимо раскрывать, то далее будет показано, как развитие аксиомы Кантора влияет на пересмотр основ математики. По Кантору, принято обозначать целые, рациональные и иррациональные числа точкой на числовой оси. Это обобщение входит в основы математики. Рассмотрим его на двух подходах к определению числовой оси: а) точка на числовой оси обозначена целыми и (или) рациональными числами, и ограничена местами , внутри которых - иррациональные числа; отсчет производим по координатам точек; б) место на числовой оси обозначено целыми и (или) рациональными числами и ограничено точками; внутри точки - иррациональные числа; отсчет производим по координатам мест. При нумерации по точкам имеет место неопределенность в области внутри точек в соответствии с выбранным масштабом самой точки, иррациональное пространство вырождено. При нумерации по местам имеется полная определенность соответствия цифры и места, и точка становится реальной как объект исследования. Положим, что точка на плоскости - это квадрат. И далее исследуем числовое пространство этой точки. ОПРЕДЕЛЕНИЯ: 1) Квазитригонометрия - это раздел математики, в котором рассматривается полное расширение тригонометрических соотношений для пространства Минковского на плоскости. 2) Под пространством Минковского будем понимать сечения -мерного пространства плоскостью, в котором линии равного потенциала образуют кривые Минковского, в свою очередь представляющие распространение кривых Ферма для первого квадранта симметрично и на три других квадранта (рис. к.1) [19].
Рис. к.1. Кривые Минковского и Ферма 3) Радиус единичной окружности в пространстве Минковского в декартовых координатах имеет обозначение R(2), в полярных - примем обозначение (2)(). Так как далее будем рассматривать только плоские геометрии, то для упрощения написания принадлежность радиусов к плоскости опустим и введем обозначения: R(2) = R, (2)() = (), R = (). КВАЗИТРИГОНОМЕТРИЯ. В основе плоской тригонометрии лежит уравнение окружности или тригонометрического круга единичного радиуса с центром в начале прямоугольных координат на плоскости (см. рис. к.1): (к.1) 2 + 2 = 1, 0 1, 0 1. Вводя на плоскости переменных полярные координаты , по формулам (к.2) = ()cos(), = ()sin(), 0 /2, кривую (1) можно задать параметрическими уравнениями (к.3) () = ()cos(), () = ()sin(), где , - полярные координаты точки (, ) кривой (к.4) 2() + 2() = 1. Подставив уравнение (3к) в уравнение (4к), найдем полярное уравнение кривой (1) (к.5) () = (sin2 + cos2)-1/2, 0 /2. Рассмотрим при каждом вещественном положительном более общее уравнение, в которое уравнение (1к) входит как частный случай, (к.6) + = 1, 0 , 0 1, 0 1. Вводя на плоскости переменных полярные координаты , по формулам (к.2) кривую (6к) можно задать параметрическими уравнениями (к.3), но чтобы не было совпадения этих уравнений для случаев, когда 2, введем общую форму написания параметрических уравнений с индексом при переменных, который указывает на их связь с уравнением -степени в прямоугольных координатах, то есть (к.7) () = ()cos(), () = ()sin(), где , - полярные координаты точки (, ) кривой (к.8) () + () = 1, 0 , 0 1, 0 1, 0 /2. Форма написания уравнения (к.8) является смешанной - полярно-прямоугольной, исключающей по сравнению с уравнением (к.6) наличие для данного угла более одного решения. Подставляя (к.7) в (к.8), получим полярное уравнение кривой (к.6) (к.9) () = (sin + cos)-1/, 0 /2. При = /4 из (к.9) следует (к.10) () = 2(-2)/2. Обозначив разность проекций и радиусов как ∆ = ( - (2, ∆ = ( - 2, ∆ = ( - 2, получим, что при 0 /2 (к.11) ( = 2 ± ∆ = 1 ± (∆2 + ∆2)1/2, (при < 2 будем иметь минус, а при ( > 2 - плюс). Следующее выражение (к.12) () = [(1 + /) + (1 + /)), является другим представлением () через катеты и . Функцию (к.7), в которой () вычисляется по формуле (к.9), предлагается называть квазитригонометрической и обозначать (к.13) sin() = sin()/(sin() + cos)1/2, cos() = cos()/()/(sin() + cos)1/2, ввиду того, что из (к.7) и (к.13) следует (к.14) sin2() + cos2() = 2(), или (к.15) () + () = 2(), При = 2 имеем (к.16) sin() = sin(), cos() = cos(), () = 1. Важный вывод:
Уравнение любой степени с двумя неизвестными на плоскости сводится к уравнению второй степени.
Расстояние из начала координат до точек кривых (кроме = 2) является величиной переменной, назовем это расстояние функциональным радиусом (рис. к.2).
Рис. к.2. Изменение функционального радиуса
Показатель степени может принимать любое вещественное значение. При = 0, 1/2, 1, 2, функциональный радиус описывает ряд кривых Минковского, которые отметим как частные решения уравнения (к.6), а между ними при 0 /2, будем иметь последовательно изменения (): от 0 до 21/2/4, от 21/2/4 до 21/2/2, от 21/2/2 до 1, от 1 до 21/2. Если 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1, то для каждого кривая (к.8) уникальна, если же в уравнение (к.8) ввести переменные больше 1, то для каждой кривой меньше 1, будем иметь семейства кривых больше 1. Положим ξα = а/с, ηα = ρα2(φ), тогда из (к.7), (к.8), (к.15) следует (к.17) aα2(φ) + bα2(φ) = сα2(φ) · ρα2(φ), где: aα, bα, сα - числа ≥ 1; aα = ξα ; bα = ηα·сα. Числа aα, bα, сα при каждом вещественном положительном являются решениями уравнения (к.18) a(φ) + b(φ) = с(φ) , в котором 1 а , 1 b , 1 c . Отметим, что кривая (к.18) тождественна кривой (к.17). На плоскости переменных аb пересечение луча из начала координат с кривыми (к.14) и (к.17) дают точки (ξα, ηα), (ξ2, η2), (a, b), (а2, b2). Эти точки находятся в свойстве подобных треугольников (рис. к.3), в которых (к.19) ξ(φ)/ξ2(φ)=η(φ)/η2(φ)=а(φ)/а2(φ)=b(φ)/b2(φ)=c(φ)/c2(φ)=ρα(φ)/ρ2(φ)=ρα(φ).
Рис. к.3. Решения меньше и больше единицы.
Лемма 1. Значение функционального радиуса ρα(φ) для кривой (к.17) иррационально для любого > 2, если принять, что а и b целые числа и угол φ изменяется от 0 до /2. Доказательство. Из (к.9) и (к.16) при > 2 следует, что ρα2(φ) число не целое, следовательно, оно может быть рациональным или иррациональным. Для определения вида ρα2(φ) используем то, что в левой части уравнения (к.17) представлена сумма квадратов целых чисел. В работе [19] для них дан красивый вывод давно известных соотношений (к.20) b = m2 - n2, с = m2 + n2, а = 2mn, где m и n - целые числа. На плоскости ab (рис. к.4, к.5, к.6) точки (amn, bmn) лежат на определенных пересечениях прямых, выходящих из начала координат, (к.21) b = a·n(n + 2) / 2(n + 1) и гипербол (к.22) b = 2m2·(n + l)·(n + 2) / а·n , совместное решение уравнений, для которых дает новые зависимости (к.23) а = 2(1 + 1/na) и b = 2(1 + 1/nb), (к.24) [na(na + 2)]2 + [2(na + 1)]2 = с2 · na2 / m2 , где: m - целое число большее 0, n = m; na - все целые от 1 до 2mn, на которые целочисленно делится число 2m, и дробные больше 21/2, у которых знаменатель, умноженный на 2, - одно из целых na, и числитель и знаменатель - простое из целых na, (см. табл. к.1); (к.25) nb = 2 / na. Зависимость (к.24) по форме совпадает с (к.17). Если принять, что (к.26) a2(φ) = [na(na + 2)]2, b2(φ) = [2(na + l )]2, c2(φ) = с2, тогда (к .27) ρα2(φ) = na2 / m2 , и остается рассмотреть действительные пересечения областей ρα2(φ) и na2/m2. Так как по условию леммы 1 а и b целые числа, то из (к.26) следует, что n -целое. Таким образом, отношение na/m будет состоять из na = 2m, m, ... , 2,1; m = 1, 2, 3, ....
Рис. к.4. Поле целых чисел с = (a2 + b2)1/2
Рис. к.5. Большое поле целых чисел
Рис. к.6. Логарифмическое поле целых чисел Таблица к.1
Рассмотрение значений ρα2(φ) начнем с максимальных значений na, содержащих m: 1) при na1 = 2m: ρα2(φ) = 4m2/m2 = 4, что больше максимального значения ρ∞2(φ)|φ = 45 = 2; 2) при na2 = m: ρ∞2(φ) = m2/m2 = 1, что соответствует ρ22(φ)|φ = 45 = 1 (по условию = 2 исключено из рассмотрения). В итоге, в пределах 2 < < ∞ функциональный радиус ρα2(φ) лежит вне целых и рациональных значений na2/ m2, то есть ρα2(φ) иррационально. Лемма 2. Значение функционального радиуса ρα(φ) для кривой (к.20) иррационально для любого в пределах 1<<2, если принять, что а и b целые числа и что угол φ изменяется от 0 до /2. Доказательство. В лемме 1 определены значения ρα2(φ) для n1 с результатом 4, а для n2 с результатом 1. И для продолжения доказательства необходимо определить n3 - следующее ближайшее к n. Эмпирически из таблицы 1 для n3 найдено выражение (к.28) n3 = 2m / Н , где Н - наименьшее число натурального ряда чисел, являющееся делителем числа 2m, до получения целого числа, меньшего чем m. При использовании зависимости (к.28) будем иметь: 3) при Н = 1: ρα2(φ) = (2m/n)2 /m2 = 4 - рассмотрено в лемме 1; при Н = 2: ρα2(φ) = (2m/n)2 /m2 = 1, - рассмотрено в лемме 1; при Н = 3: ρα2(φ) = (2m/n)2/m2 = 4/9, что меньше значения ρ∞2(φ) )|φ = 45 = 1/2, то есть внутри области изменения ρ∞2(φ) при 1 < < 2 не имеется ни одного рационального значения дроби n2/ m2. В итоге, в пределах 1 < < 2 функциональный радиус ρα2(φ) иррационален, |ρα(φ)| = [ρα2(φ)]1/2, тем более иррационально, что и требовалось для доказательства. В леммах 1 и 2 доказано, что функциональный радиус ρα2(φ) в уравнениях (к.14) и (к.17) при изменении в пределах 1 может принимать следующие значения: при = 1, = 2, = ∞ - рациональные и иррациональные; при 1< <2, 2 < < ∞ - только иррациональные. И если принять за аксиому утверждение о наличии обратной степенной симметрии решений (к.14) и (к.17) относительно решений при степени = 1, то будем иметь, что функциональный радиус ρα2(φ) при изменении в пределах 0 < < 1 может принимать следующие значения: при = 0, = 1/2, = 1 - рациональные и иррациональные; Таким образом, частные решения (к.17) для значений ρα2(φ) разграничивают первый квадрант на 10 областей целых, рациональных и иррациональных числовых значений имеющих связь с конусными сечениями (рис. к.7) и с кривизной пространства (табл. к.2). Модель конусных сечений через одну точку оказалась удобной для описания вещественных и полевых объектов еще и потому, что совместила в себе траектории пространств разной кривизны: эллипсные - положительной (Римана), гиперболические - отрицательной (Лобачевского), параболические - нулевой кривизны или евклидова пространства (рис. к.7). И вследствие применения этой модели точка зрения на кванты является конусной. Результаты квазитригонометрии распространяются на спектры атомов, золотое сечение в виде наклонов линий (на рис. к.8 они показаны в виде сплошных линий, а это не что иное, как пифагоровы числа, более сложное на этом рисунке и менее проявленное - это другие кривые, которые распространяются на строение ядер атомов), т.е. имеем те же синусы и косинусы обычной тригонометрии.
Таблица к.2
Рис. к.7. Конусные пространства кривизны и решения уравнения вида |a| + |b| = 1
Рис. к.8. Поле целых чисел в 4-х квадрантах
Ви переглядаєте статтю (реферат): «КВАЗИТРИГОНОМЕТРИЯ И КРИВОЛИНЕЙНОСТЬ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА» з дисципліни «Планковська фізика»
