Займемся теперь рассмотрением всех возможных типов сим- метрии решеток Бравэ. Предварительно докажем общую теорему, касающуюся сим- метрии кристаллических решеток по отношению к поворотам. Выясним, какими осями симметрии может обладать решетка. Пусть А (рис. 55) есть один из узлов решетки Бравэ, через который проходит (перпендикулярно к плоскости рисунка) ось § 130 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 461 симметрии. Если В— другой узел, отстоящий от А на один из трансляционных периодов, то через В должна проходить другая такая же ось симметрии. Произведем теперь поворот вокруг оси, проходящей через А на угол (р = 2тг/п (п— порядок оси). Тогда точка В вместе с проходящей через нее осью займет положение В'. Аналогично поворот вокруг В переводит точку А в А!. По условиям построения точ- ки А' и В' относятся к той же ре- шетке Бравэ и потому могут быть совмещены друг с другом посред- ством параллельного переноса. По- этому расстояние А1 В1 тоже должно быть трансляционным периодом ре- шетки. Если а есть кратчайший период в данном направлении, то расстояние А'В' должно быть, следовательно, равно ар с це- лым р. Из рисунка мы видим, что это приводит к уравнению а + 2а sin (ср — —] = а — 2а cos cp = ар или 1 coscp = 2 Поскольку | cos </91 ^ 1, то р может быть здесь равным 3, 2, 1, 0. Эти значения приводят соответственно к ср = 2тг/п с п = 2,3,4,6. Таким образом, кристаллическая решетка может обладать осями симметрии только 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Перейдем теперь к изучению возможных типов симметрии решетки Бравэ по отношению к поворотам и отражениям. Эти типы симметрии носят название кристаллических систем или сингоний. Каждая из них представляет собой определенную со- вокупность осей и плоскостей симметрии, т. е. является одной из точечных групп. Легко видеть, что каждый узел решетки Бравэ представля- ет собой ее центр симметрии. Действительно, каждому атому в решетке Бравэ соответствует другой атом, расположенный на одной прямой с данным узлом и первым атомом таким образом, что оба атома находятся на равных расстояниях от узла. Если центр симметрии является единственным (кроме трансляций) элементом симметрии решетки Бравэ, то имеет место так на- зываемая: 1. Триклинная система. Эта система, наименее сим- метричная из всех, соответствует точечной группе CV Узлы триклинной решетки Бравэ расположены в вершинах одинако- вых параллелепипедов с произвольными длинами ребер и углами 462 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII между ними; такой параллелепипед изображен на рис. 56. Ре- шетки Бравэ принято обозначать особыми символами; решетка триклинной системы обозначается как IV А 7 с \ Ь А i с А- л-/ / d И |/ / с [_Ь_ /с i с А V Го 1 о А I // I/ Ы ,/ \ \ \ ч } А А \! ' /с \/ // ,,/ <.\ ' \\ ' Г- V i i i i i j i i с о о А \ \ V / \ \ \ / / / а а V \ / V / / с С У V N // /1 с К J 3 С ' ^ ^ >/ / ' л' // Рис. 56 2. Моноклинная система является следующей по степени симметричности. Ее элементы симметрии—ось второ- го порядка и перпендикулярная к ней плоскость симметрии, т.е. эта система представляет собой точечную группу С^к- Это есть симметрия, которой обладает прямой параллелепипед с произвольным основанием. Решетка Бравэ этой системы мо- жет осуществляться двумя способами. В первом случае—так называемая простая моноклинная решетка Бравэ (Гш) — узлы расположены в вершинах прямых (в направлении Ь) параллеле- пипедов с произвольным параллелограммом в качестве грани ас § 130 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 463 (рис. 56). Во втором случае — решетка с центрированными осно- ваниями (Г^) —узлы расположены не только в вершинах, но и в центрах противоположных прямоугольных граней параллеле- пипедов. 3. Ромбическая (или ортогональная) система соответствует точечной группе D^h- Это есть симметрия пря- моугольного параллелепипеда с произвольными длинами ребер. К ромбической системе относятся четыре вида решеток Бравэ. В простой ромбической решетке (Го) узлы расположены в вер- шинах прямоугольных параллелепипедов. В решетке с центри- рованными основаниями (Iq) узлы находятся также в центрах двух противоположных граней каждого параллелепипеда. Далее, в объемноцентрированной решетке (Pq) узлы находятся в вер- шинах и центрах параллелепипедов и, наконец, в гранецентри- рованной решетке (Iq) узлы находятся, кроме вершин, также и в центрах всех граней. 4. Тетрагональная (или квадратная) система представляет собой точечную группу D^h] это есть симметрия, которой обладает прямая призма с квадратным основанием. Ре- шетки Бравэ этой системы могут осуществляться двумя спосо- бами. Именно, существуют простая и объемноцентрированная тетрагональные решетки Бравэ (обозначаемые соответственно как Yq и Yvq) с узлами, расположенными соответственно по вер- шинам и по вершинам и центрам прямых призм с квадратными основаниями. 5. Ромбоэдрическая (или тригональная) систе- м а соответствует точечной группе Dsd] такой симметрией обладает ромбоэдр (фигура, получающаяся при растяжении или сжатии куба вдоль его пространственной диагонали). В един- ственной возможной в этой системе решетке Бравэ (Pr/i) узлы расположены в вершинах ромбоэдров. 6. Гексагональная система соответствует точечной группе D§h] такой симметрией обладает правильная шестигран- ная призма. Решетка Бравэ этой системы (Г/J может быть осу- ществлена только одним способом — ее узлы расположены в вер- шинах правильных шестигранных призм и в центрах их шести- угольных оснований. Полезно указать на следующее различие между ромбоэдрической и гексагональной решетками Бравэ. И в той и в другой узлы расположены в плоскостях, перпенди- кулярных к оси 6-го (или 3-го) порядка, таким образом, что образуют сетку из равносторонних треугольников. Но в гек- сагональной решетке в последовательных (вдоль оси Cq) таких плоскостях узлы расположены непосредственно друг над другом (на рис. 57 эти плоскости изображены в плане). В ромбоэдри- 464 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII ческой же решетке в каждой следующей плоскости узлы рас- пол ожены над центрами треугольников, образованных узлами предыдущей плоскости (кружки и крестики на рис. 57). 7. Кубическая система соответствует точечной груп- пе O/i, это есть симметрия куба. К этой системе относятся три типа решеток Бравэ: простая куби- ческая (Гс), объемноцентрированная / \ / \ / \ (Yvc) и гранецентрированная (Гс). / \ / \ / \h В последовательности систем три- °"ч ;Ч" ,4 ~° клинной, моноклинной, ромбической, \ / \ / \ / тетрагональной и кубической каждая чо/ ^ ^ обладает большей симметрией, чем все предыдущие. Другими словами, а -р -р каждая следующая из них содержит / \ / \ / \ г в себе все элементы симметрии, содер- / \ / \ / \ г жащиеся в предыдущих. Ромбоэдриче- °ч Я\ /°\ "^ екая система обладает в том же смысле \ / X ^ / X ^ симметрией более высокой, чем моно- V ^ ^ клинная, и в то же время более низкой, Рис 57 чем симметрия кубической и гексаго- нальной систем: ее элементы симметрии содержатся и в той и в другой. Наиболее симметричными являются именно эти две последние системы. Укажем еще на следующее обстоятельство. На первый взгляд могло бы показаться, что возможны еще неко- торые типы решеток Бравэ, кроме перечислен- ных четырнадцати. Так, если к простой тетра- гональной решетке присоединить еще по узлу в центрах противоположных квадратных основа- ний призм, то решетка имела бы при этом по- прежнему тетрагональную симметрию. Легко, однако, видеть, что мы при этом не получили бы новой решетки Бравэ. Действительно, соеди- нив узлы такой решетки указанным на рис. 58 Рис 58 (штриховыми линиями) способом, мы увидим, что новая решетка является, по-прежнему про- стой тетрагональной. Легко убедиться, что то же самое имеет место и во всех других подобных случаях. Параллелепипеды решетки Бравэ, изображенные на рис. 56, сами по себе обладают всеми элементами симметрии той си- стемы, к которой они относятся. Необходимо, однако, иметь в виду, что во всех случаях, за исключением только простых ре- шеток Бравэ, эти параллелепипеды не являются элементарны- ми ячейками: периоды, на которых они построены, не являются У / 131 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 465 основными. В качестве основных периодов в гранецентрирован- ных решетках Бравэ можно выбрать векторы из какой-нибудь вершины параллелепипеда к центрам граней; в объемноцентри- рованной—из вершины в центры параллелепипедов и т. п. На рис. 59 изображены эле- ментарные ячейки для кубических решеток Тс и Г^; эти ячейки предста- вляют собой ромбоэдры и отнюдь не обладают са- ми по себе всеми элемен- тами симметрии кубиче- ской системы. Очевидно, что объем Vf гранецен- Рис- 59 трированного параллелепипеда Бравэ в четыре раза больше объ- ема элементарной ячейки: Vf = 4г>; объемы же объемноцентри- рованного параллелепипеда и параллелепипеда с центрирован- ными основаниями равны удвоенным объемам элементарной ячейки: vv = 2v, v^ = 2v. Для того чтобы полностью определить триклинную решет- ку Бравэ, необходимо указать шесть величин: длины ребер ее параллелепипедов и углы между ними; в моноклинной достаточ- но уже четырех величин, так как два из углов между ребра- ми всегда прямые, и т. д. Аналогичным образом легко найти, что решетки Бравэ различных систем определяются следующим числом величин (длин ребер параллелепипедов или углов между ними): Триклинная 6 Моноклинная 4 Ромбическая 3 Тетрагональная 2 Ромбоэдрическая 2 Гексагональная 2 Кубическая 1
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кристаллические системы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
