Средний квадрат флуктуации числа частиц обычного идеаль- ного газа, находящихся в некотором выделенном в газе отно- сительно малом объеме, мы найдем, подставив в формулу A12.13) V = NT/Р. Это дает следующий простой результат: ((ANJ) =N. A13.1) Относительная флуктуация числа частиц равна, следовательно, обратному квадратному корню из среднего числа частиц: N Для того чтобы вычислить флуктуацию числа частиц в идеальном газе Бозе или Ферми, следует воспользоваться форму- лой A12.14), подставив в нее выражение E6.5) для N как функ- ции от /i, T, V, получаемое интегрированием соответствующей функции распределения. Мы не станем выписывать здесь по- лучающиеся таким способом довольно громоздкие выражения. 394 ФЛУКТУАЦИИ Отметим лишь следующее обстоятельство. Мы видели, что у бозе-газа при температурах Т < Tq (см. § 62) давление не зави- сит от объема; другими словами, его сжимаемость обращается в бесконечность. Согласно формуле A12.13) отсюда следовало бы, что флуктуации числа частиц тоже становятся бесконечны- ми. Это означает, что при вычислении флуктуации в бозе-газе при низких температурах нельзя пренебрегать взаимодействи- ем его частиц, сколь бы слабым оно ни было; учет этого взаи- модействия, которое должно существовать во всяком реальном газе, привел бы к конечным флуктуациям. Далее рассмотрим флуктуации в распределении частиц га- за по различным квантовым состояниям. Введем снова в рас- смотрение квантовые состояния частиц (включая в это понятие также и различные состояния их поступательного движения), и пусть П& — их числа заполнения. Рассмотрим совокупность пк частиц, находящихся в к-м кван- товом состоянии; ввиду полной статистической независимости этой системы частиц от остальных частиц газа (ср. § 37) можно применить к ней формулу A12.14): J)=Т^. A13.2) В применении к ферми-газу надо подставить сюда пк= [e^-z^ + i]-1. Произведя дифференцирование, найдем ((Ап)кJ) = пкA-пк). A13.3) Аналогичным образом найдем для бозе-газа ((АпкJ)=пкA+Щ). A13.4) Для больцмановского газа при подстановке пк = exp[(/i — Sk)/T] получается, естественно, формула ((АпкJ)=пк, A13.5) в которую переходят как A13.3), так и A13.4) при пк <С 1. Просуммируем формулу A13.3) или A13.4) по группе из Gj близких друг к другу состояний, содержащих всего Nj = У^ пк частиц. В силу упомянутой уже статистической независимости флуктуации различных пк получим T ^), (И3.6) § 114 ФОРМУЛА ПУАССОНА 395 где uj — общее значение близких друг к другу п&, а Nj = ujGj. Полученные формулы можно применить, в частности, к черно- му излучению (равновесный бозе-газ фотонов), для чего надо положить в A13.4) \i = 0. Рассмотрим совокупность квантовых состояний фотонов (в объеме V) с близкими значениями частот, лежащими в малом интервале Awj; число таких состояний равно Gj = Voj^Aojj/^c3 (см. F3.3)). Общая энергия квантов в этом интервале частот есть Е/^^. = NjHljj. Умножив формулу A13.6) 2 на (fioojJ и опуская индекс j, получим следующее выражение для флуктуации энергии Е/±ш черного излучения в заданном интер- вале частот Да; (впервые найденное Эйнштейном, 1909): {(AEAoJJ) = Поо ¦ ЕАш + *УУ2. (П3.7)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Флуктуации в идеальном газе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
