Рассмотрим тело очень большой массы, части которого удер- живаются вместе силами гравитационного притяжения. Реаль- ные тела большой массы известны нам в виде звезд, непрерыв- но излучающих энергию и отнюдь не находящихся в состоянии 366 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ. XI теплового равновесия. Представляет, однако, принципиальный интерес рассмотрение равновесного тела большой массы. При этом мы будем пренебрегать влиянием температуры на урав- нение состояния, т. е. будем рассматривать тело находящимся при абсолютном нуле («холодное» тело). Поскольку в реальных условиях температура наружной поверхности значительно ни- же, чем внутренняя температура, рассмотрение тела с отличной от нуля постоянной температурой во всяком случае лишено фи- зического смысла. Будем далее предполагать тело невращающимся; тогда в равновесии оно будет иметь сферическую форму, и распределе- ние плотности в нем будет центрально-симметричным. Равновесное распределение плотности (и других термодина- мических величин) в теле будет определяться следующими урав- нениями. Ньютоновский гравитационный потенциал ср удовле- творяет дифференциальному уравнению где р—плотность вещества, G — ньютоновская гравитационная постоянная; в центрально-симметричном случае имеем Кроме того, в тепловом равновесии должно выполняться усло- вие B5.2); в гравитационном поле потенциальная энергия части- цы с массой т' есть т'ф, так что имеем /i + m'ip = const, A07.2) где т' — масса частицы тела, а у химического потенциала ве- щества в отсутствие поля для краткости опущен индекс нуль. Выразив if через \i из A07.2) и подставив в уравнение A07.1), мы можем написать последнее в виде (rL7rmG/O. (Ю7.3) dr \ dr / При увеличении массы гравитирующего тела возрастает, естественно, и его средняя плотность (это обстоятельство бу- дет подтверждено следующими ниже вычислениями). Поэтому при достаточно большой полной массе М тела можно, согласно изложенному в предыдущем параграфе, рассматривать веще- ство тела как вырожденный электронный ферми-газ — сначала нерелятивистский, а затем, при еще больших массах, реляти- вистский. § 107 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ С БОЛЬШОЙ МАССОЙ 367 Химический потенциал нерелятивистского вырожденного электронного газа связан с плотностью тела р равенством »^^_^ (Ю7.4) (формула E7.3), в которую подставлено р = m'N/V; m! — мас- са, приходящаяся на один электрон, те — электронная масса). Выразив отсюда р через \i и подставив в A07.3), получим сле- дующее уравнениег) : r2dr\ dr) P ' ЗтгП3 V J Обладающие физическим смыслом решения этого уравнения не должны иметь особенности в начале координат: \i —>• const при г —>> 0. Это требование автоматически приводит к условию для первой производной ^ = 0 при г = 0, A07.6) dr как это непосредственно следует из уравнения A07.5) после ин- тегрирования по dr: dr Легко видеть, что для электрически нейтрального газа, состоящего из электронов и атомных ядер, условие равновесия можно писать в виде A07.2) с химическим потенциалом электронов в качестве /i и с массой, приходя- щейся на один электрон, в качестве m . Действительно, вывод этого усло- вия равновесии (§ 25) связан с рассмотрением переноса бесконечно мало- го количества вещества из одного места в другое. Но в газе, состоящем из заряженных частиц обоих знаков, такой перенос надо представлять себе как перенос некоторого количества нейтрального вещества (т. е. электронов и ядер вместе). Разъединение зарядов обоих знаков энергетически весьма невыгодно благодаря возникающим при этом очень большим электрическим полям. Поэтому мы получим условие равновесия в виде //яд + Z/isn + (шяд + Zm3JI)tp = 0 (на одно ядро приходится Z электронов). Вследствие большой массы ядер (по сравнению с массой электронов) их химический потенциал очень мал по сравнению с //эл. Пренебрегая //яд и разделив уравнение на Z, получим А*эл +тп'(р = 0. Как и в § 106, при численных оценках в этом параграфе будем полагать m равной удвоенной массе нуклона (т' = 2тп). 368 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ. XI Ряд существенных результатов можно получить уже путем применения к уравнению A07.5) простых соображений размер- ности. Решения уравнения A07.5) содержат лишь два постоян- ных параметра — постоянную А и, например, радиус тела i?, за- данием которого однозначно определяется выбор решения. Из этих двух величин можно образовать всего одну величину с размерностью длины — самый радиус i?, и одну величину с раз- мерностью энергии: l/(A2i?4) (постоянная А имеет размерность см~2 • эрг/2). Поэтому ясно, что функция ц(г) должна иметь вид со т. R6 где / — некоторая функция только от безразмерного отноше- ния r/R. Поскольку плотность р пропорциональна /i3/2, то рас- пределение плотности должно иметь вид / ч COnst тр( г\ Р^Г* ~ R6 \r)' Таким образом, при изменении размеров сферы распреде- ление плотности в ней меняется подобным образом, причем в подобных точках плотность меняется обратно пропорциональ- но R6. В частности, средняя плотность сферы будет просто обратно пропорциональна i?6: J_ ~RQ Полная же масса М тела, следовательно, обратно пропорцио- нальна кубу радиуса: °° ~R?' Эти два соотношения можно написать также в виде i?ooM/3, рсоМ2. A07.8) Таким образом, размеры равновесной сферы обратно пропор- циональны кубическому корню из ее полной массы, а средняя плотность пропорциональна квадрату массы. Последнее обстоя- тельство подтверждает сделанное выше предположение о том, что плотность гравитирующего тела растет с увеличением его массы. Тот факт, что гравитирующая сфера из нерелятивистского вырожденного ферми-газа может находиться в равновесии при любом значении полной массы М, можно было усмотреть зара- нее из следующих качественных соображений. Полная кинети- ческая энергия частиц такого газа пропорциональна N(N/VJ'^ § 107 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ С БОЛЬШОЙ МАССОЙ 369 (см. E7.6)), или, что то же, М^'3 / R?, а гравитационная энергия газа в целом отрицательна и пропорциональна М JR. Сумма двух выражений такого типа может иметь минимум (как функ- ция от R) при любом М, причем в точке минимума R со М~1'3. Подставляя A07.7) в A07.5) и вводя безразмерную перемен- ную ? = r/R, найдем, что функция /(?) удовлетворяет урав- нению 1 Г/ / О r/f \ 9 /О Шеш) = ч A07-9) с граничными условиями /7@) = 0; /A) = 0. Это уравнение не может быть решено в аналитическом виде и должно интегриро- ваться численно. Укажем, что /@) = 178,2, /'A) = -132,4. С помощью этих числовых значений легко определить зна- чение постоянной MR3. Умножив уравнение A07.1) на r2dr и интегрируя от 0 до i?, получим 2 r=R R т r=R /41) m'X2R3 откуда МД3,9 й" /5=2,2-1О13(^M0км3, A07.10) G6m6em \m J где 0 = 2- 1033 г —масса Солнца. Наконец, для отношения цен- тральной плотности р@) к средней плотности ~р = 37Vf/D7ri?3) легко найти ?№=-?» = 5,99. A07.11) р з/'A) ' v ; На рис. 50 (кривая 1) изображен график отношения р(г)/р@) как функции r/R1) . Перейдем к исследованию равновесия сферы, состоящей из вырожденного ультрарелятивистского электронного газа. Пол- ная кинетическая энергия частиц такого газа пропорциональ- на N(NfVI/3 (см. F1.3)), или иначе М4/3/Д; гравитационная же энергия пропорциональна —М2JR. Таким образом, обе эти :)В предыдущем параграфе мы видели, что вещество можно рассматри- вать как нерелятивистский вырожденный электронный газ при плотностях р ^> 20Z2 г/см3. Если потребовать выполнения этого неравенства для сред- ней плотности рассматриваемой сферы, то для ее массы получится условие M>5-1OZ0; этим массам соответствуют радиусы, меньшие 5 • 104Z~1^3 км. 370 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ. XI величины зависят от R одинаковым образом, и их сумма тоже будет иметь вид const • R~l. Отсюда следует, что тело вообще не сможет находиться в равновесии: если const > 0, то оно будет стремиться расширяться (до тех пор, пока газ не станет нереляти- вистским); если же const < 0, то уменьшению полной энергии будет соответствовать стремление R к ну- лю, т. е. тело будет неограничен- но сжиматься. Лишь в особом слу- чае const = 0 тело может находить- ся в равновесии, причем в безраз- личном равновесии с произвольны- ми размерами R. Эти качественные соображения, разумеется, полностью подтвер- ждаются точным количественным анализом. Химический потенциал рассматриваемого реляти- вистского газа связан с плотностью (см. F1.2)) соотношением 1,0 0,8 06 0,4 0,2 0 р{Т) Р@) \ \ М- 0 \ \ 2 \ V \ 0,4 Рис 1 \ \ \ 0,6 50 0 8 1, A07.12) Вместо уравнения A07.5) получаем теперь 1 d { г а л) аг / А = AGmT_ ЗтгсЧ3 Имея в виду, что А обладает теперь размерностью эрг~2 • см~2, находим, что химический потенциал как функция от г должен иметь вид Кд <10714) а распределение плотности р(г) = const —z- — . RJ Таким образом, средняя плотность будет теперь обратно про- порциональна i?3, а полная масса со R?~p оказывается не зави- сящей от размеров постоянной: р со —з, М = const = R A07.15) Mq есть единственное значение массы, при котором возможно равновесие; при М > Mq тело будет стремиться неограниченно сжиматься, а при М < Mq оно будет расширяться. § 107 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ С БОЛЬШОЙ МАССОЙ 371 Для точного вычисления «критической массы» Mq необходи- мо произвести численное интегрирование уравнения -/3, /'@)=0, Д1)=0, A07.16) которому удовлетворяет функция /(?) в A07.14). Теперь полу- чается /@) = 6,897, /'A) = -2,018. Для полной массы находим GM0 = К — d =7=, r=R m VA откуда Положив т' = 2mn, получим Mq = 1,450. Наконец, отношение центральной плотности к средней оказывается равным Р@) _ /3@) гг о р ~ 3/4D ' На рис. 50 (кривая 2) дан график р(г)/р@) в ультрареляти- вистском случае как функции r/R1) . Полученные результаты о зависимости между массой и ра- диусом равновесного «холодного» сферического тела можно представить во всей области измерения R в виде единой кривой, определяющей зависимость М = M®. При больших R (и со- ответственно малых плотностях тела) электронный газ можно рассматривать как нерелятивистский, и функция M® спадает по закону М со i?~3. При достаточно же малых R плотность на- столько велика, что имеет место ультрарелятивистский случай, и функция M® имеет почти постоянное (равное Mq) значение (строго говоря, M® —)> Mq при R —)> 0). На рис. 51 изображена кривая М = M®, вычисленная с т' = 2тп2) . Следует обра- тить внимание на то, что предельное значение 1,45 0 достига- ется лишь весьма постепенно; это связано с тем, что плотность 1) Формальная задача о равновесии гравитирующей газовой сферы со сте- пенной зависимостью Р от р была исследована Эмденом (R. Emden, 1907). Физическое заключение о существовании и величине A07.17) предельной массы было сделано С. Чандрасекхаром E. Chandrasekhar, 1931) и Л. Д. Лан- дау A932). ) Построение промежуточной части кривой производится путем численно- го интегрирования уравнения A07.3) с точным релятивистским уравнением состояния вырожденного газа (см. задачу 3 к §61). 372 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ. XI быстро падает по мере удаления от центра тела; поэтому газ может быть уже ультрарелятивистским вблизи центра и в то же время нерелятивистским в значительной части объема те- ла. Отметим также, что начальная часть кривой (слишком ма- лые R) не имеет реального физического смысла. Действительно, при достаточно малых радиусах плотность станет настолько большой, что в веществе начнут происходить ядерные реакции. При этом давление будет возрастать с увеличением плотности медленнее чем р4/3, а при таком уравнении состояния никакое равновесие вообще невозможно х) . Наконец, эта кривая теряет смысл также и при слишком больших значениях R (и малых М); как уже было указано (см. примеч. на стр. 369), в этой области становится непри- менимым использованное нами уравнение состояния вещества. В этой связи следует указать, что существует верхний предел размеров, которыми вообще может обладать «хо- лодное» тело. Действительно, большим размерам тела соответствуют на кри- вой рис. 51 малые массы и малая плот- ность вещества. Но при достаточно малых плотностях вещество будет на- ходиться в обычном «атомном» состо- янии, и при интересующих нас низ- ких температурах оно будет твердым. Размеры тела, построенного из тако- го вещества, будут, очевидно, умень- шаться при дальнейшем уменьшении его массы, а не увеличиваться, как на рис. 51. Истинная кри- вая R = R(M) должна, следовательно, иметь при некотором значении М максимум. Порядок величины максимального значения радиуса легко определить, заметив, что он должен соответствовать плотности, при которой становится существенным взаимодействие электро- нов с ядрами, т. е. при mfZ2 М@) 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 N \ \ V ч ч 0 2 4 6 Рис. 51 I 10 12 Я,108см ) Если химический потенциал пропорционален некоторой степени плот- ности /и, оэ рп (и соответственно Р оэ pn+1), то внутренняя энергия тела пропорциональна Vрп+1, или иначе Mn+1 /RSn; гравитационная же энергия по-прежнему пропорциональна — М /R. Легко видеть, что при п < 1/3 сум- ма двух таких выражений, как функция от R, хотя и имеет экстремум, но этот экстремум является ее максимумом, а не минимумом. § 108 ЭНЕРГИЯ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ТЕЛА 373 (см. A06.1)). Комбинируя это соотношение с равенством A07.10), получим ^ж A07.18)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Равновесие тел с большой массой» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Легко видеть, что для электрически нейтрального газа, состоящего из 