В предыдущих параграфах мы рассматривали тепловое дви- жение атомов твердого тела как совокупность нормальных ма- лых колебаний кристаллической решетки. Изучим теперь более подробно механические свойства этих колебаний. В каждой элементарной ячейке кристалла находится, вообще говоря, по нескольку атомов. Поэтому каждый атом надо опре- делять заданием элементарной ячейки, в которой он находит- ся, и номером атома в ячейке. Положение элементарной ячейки можно задать радиусом-вектором гп какой-либо определенной ее вершины; этот радиус-вектор пробегает значения rn = mai + n2a2 + п3а3, F9.1) где ni, П2, пз —целые числа, a ai, a2, аз —основные периоды решетки (длины ребер элементарной ячейки). Обозначим смещения атомов при колебаниях через us, где индекс s указывает номер атома в ячейке (s = 1,2, ...,z/; v — число атомов в ячейке). Функция Лагранжа кристаллической ре- шетки, как механической системы частиц, совершающих малые колебания вокруг своих положений равновесия (узлов решетки), имеет вид L = i?meu2(n) - ij>#(n-n')uei(n)ue,fc(n'), F9.2) где «вектор» n = (пх,П2,пз); ms — массы атомов, а г, /с —вектор- ные индексы, пробегающие значения ж, у, z (причем по дважды повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается сумми- рование). Коэффициенты Л зависят только от разности п — п7, поскольку силы взаимодействия атомов могут зависеть лишь от относительного положения ячеек решетки, но не от их абсолют- ного положения в пространстве. Эти коэффициенты обладают свойством симметрии Л?'(п) = л?(-п), F9.3) очевидным из вида функции F9.2). 244 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI Из функции Лагранжа F9.2) следуют уравнения движения m8u8i = -^Л*|'(п-п>^(п'). F9.4) n's' Отметим, что коэффициенты Л связаны друг с другом опре- деленными соотношениями, выражающими тот факт, что при параллельном смещении или при повороте решетки как целого не возникает никаких действующих на атомы сил. При парал- лельном смещении все us(n) = const, и поэтому должно быть 5>Ц'(п)=0. F9.5) Связей, следующих из инвариантности относительно поворотов, не станем здесь выписывать. Будем искать решения уравнений F9.4) в виде монохромати- ческой плоской волны ue(n) = ee(k) exp[i(krn - cot)]. F9.6) Амплитуда (комплексная) es зависит только от индекса «s, т.е. различна лишь для разных атомов в одной и той же ячейке, но не для эквивалентных атомов в различных ячейках. Векторы es определяют как величину амплитуды колебаний, так и направ- ление их поляризации. Подставив F9.6) в F9.4), получим n')es/fcexp(ikrn/). Разделив обе части равенства на exp(ikrn) и заменив суммиро- п Л*|' (k)es,k - co2msesl = О, F9.7) n's' вание по п7 суммированием по п' - п, находим 81 где введено обозначение Л^'(кЛ — V^ \s?' (п) pxnf—?kr ^ (fiQ R) 1Yik vK/ ~~ / j lHk v11/cxPv 6i^1n)' [vy.o) n Система F9.7) линейных однородных алгебраических уравнений для амплитуд имеет отличные от нуля решения при выполнении условия совместности det |Л*|' (k) - co2ms5ik5ss, \ = 0. F9.9) Поскольку индексы г, к пробегают по 3, а индексы «s, s' — no v значений, то порядок определителя равен 3^, так что F9.9) есть алгебраическое уравнение степени Ъу относительно со2. § 69 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 245 Каждое из 3z^ решений этого уравнения определяет часто- ту ио как функцию волнового вектора к; об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяющее эту зави- симость уравнение F9.9) называют дисперсионным уравнением. Таким образом, для каждого заданного значения волнового век- тора частота может иметь в общем случае 3z^ различных зна- чений. Можно сказать, что частота есть многозначная функция волнового вектора, обладающая Ъу ветвями: ио = о;а(к), где ин- декс а нумерует ветви функции. Из определения F9.8) и равенств F9.3) следует, что ЛЦ'(к) = л?(-к) = [Л|'/(к)]*. F9.10) Другими словами, величины Л?| (к) составляют эрмитову мат- рицу, а задача о решении уравнений F9.7) есть с математиче- ской точки зрения задача об определении собственных значений и соответствующих им собственных «векторов» такой матрицы. Согласно известным свойствам эрмитовых матриц собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, вза- имно ортогональны. Это значит в данном случае, что meu(a)u(Q/)* =0 при а/ а', F9.11) s=l где индекс (а) у вектора смещения указывает ветвь спектра ко- лебаний, к которой он относится1) . Равенства F9,11) выражают собой свойство ортогональности поляризаций в различных вет- вях спектра. Если в силу симметрии механических уравнений движения по отношению к изменению знака времени и возможно распростра- нение некоторой волны F9.6), то возможно распространение такой же волны и в противоположном направлении. Но такое изменение направления эквивалентно изменению знака к. Сле- довательно, функция со (к.) должна быть четной: a;(-k) =a;(k). F9.12) Волновой вектор колебаний решетки обладает следующим важным свойством. Вектор к входит в выражение F9.6) только через экспоненциальный множитель exp(ikrn). Но этот множи- тель вообще не меняется при замене k-^k + b, Ъ=р1Ъ1 +Р2Ъ2+РзЪз, F9.13) Появление «весового» множителя ms в соотношениях F9.11) связано с тем, что иа являются собственными значениями не самой матрицы Л|^ (к), а матрицы Л|^ /\/msms/, причем соответствующими собственными «векто- рами» являются y/msUs . 246 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI где Ь —любой вектор обратной решетки (b>i, b2, Ьз — ее основные периоды; р\1р2-) Рз —целые числа)х) . Другими словами, волновой вектор колебаний решетки физически неоднозначен: значения к, отличающиеся на Ь, физически эквивалентны. Функция ui(k) пе- риодична в обратной решетке: o;(k + b)=o;(k), и поэтому в каждой ее ветви достаточно рассматривать значе- ния вектора к, лежащие в некотором определенном конечном интервале —в одной ячейке обратной решетки. Если выбрать оси координат (в общем случае косоугольные) по трем основным пе- риодам обратной решетки, то можно, например, ограничиться Областью 1 1 (ас\лл\ --к <к^ -bi. F9.14) Когда к пробегает значения в этом интервале, частота о;(к) в каждой ветви спектра пробегает значения, заполняющие неко- торую полосу (или, как говорят, зону) конечной ширины. Раз- личные зоны могут, конечно, частично перекрываться между собой. В геометрических терминах функциональная зависимость uj = cj(k) изображается четырехмерной гиперповерхностью, различные листы которой отвечают различным ветвям функ- ции. Эти листы могут оказаться не полностью разделенными, т. е. могут пересекаться. Возможные типы таких пересечений существенно зависят от конкретной симметрии кристалличе- ской решетки. Исследование этого вопроса требует применения методов теории групп, как это будет изложено ниже, в § 136. Среди 3z^ ветвей спектра колебаний должны быть такие, кото- рые при больших (по сравнению с постоянной решетки) длинах волн соответствуют обычным упругим (т. е. звуковым) волнам в кристалле. Как известно из теории упругости (см. VII, §23), в кристалле, рассматриваемом как сплошная среда, могут рас- пространяться волны трех типов с различными законами дис- персии, причем для всех трех типов ио есть однородная функция первого порядка от компонент вектора к, обращающаяся в нуль при к = 0. Следовательно, среди Ъу ветвей функции со (к) долж- ны существовать три, в которых при малых к закон дисперсии имеет вид /^\ kf(±y F9.15) Эти три типа волн называются акустическими] они характери- зуются тем, что (при малых к) решетка колеблется в целом как х) Здесь используются понятия, подробно рассматриваемые ниже, в § 133. § 69 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 247 сплошная среда. В пределе к —>• 0 эти колебания переходят в простое параллельное смещение всей решетки. В сложных решетках, содержащих более одного атома в ячейке, существует еще 3(и — 1) типа волн. В этих ветвях спек- тра частота не обращается в нуль при к = 0, а стремится при к —>• 0 к постоянному пределу. Эти колебания решетки называют оптическими. В этом случае атомы в каждой эле- ментарной ячейке движутся друг относительно друга, причем в предельном случае к = 0 центр тяжести ячейки остается в покоег) . Не все 3(z^ — 1) предельные частоты оптических колебаний (частоты при к = 0) должны непременно быть различными. При определенных свойствах симметрии кристалла предельные частоты некоторых из оптических ветвей спектра могут совпа- дать или, как говорят, быть вырожденными (см. об этом § 136). Функция о; (к) с невырожденной предельной частотой может быть разложена вблизи к = 0 в ряд по степеням компонент век- тора к. В силу четности функции о;(к) такое разложение может содержать только четные степени А;^, так что его первые члены имеют вид ш = о;0 + -Jikkifa, F9.16) где ooq — предельная частота, 7г/с ~~ постоянные величины. Если же предельные частоты нескольких ветвей совпадают, то функции о; (к) в этих ветвях вообще не могут быть разложены по степеням к, поскольку точка к = 0 является для них особой (точкой ветвления). Можно лишь утверждать, что вблизи к = 0 разность uj — ojq будет (в зависимости от симметрии кристалла) однородной функцией компонент к либо первого, либо второго порядка. По поводу всего изложенного напомним лишний раз, что речь идет о так называемом гармоническом приближении, в ко- тором учитываются лишь квадратичные по смещениям атомов члены в потенциальной энергии. Только в этом приближении различные монохроматические волны F9.6) не взаимодейству- ют друг с другом, а свободно распространяются по решетке. 1) Последнее обстоятельство формальным образом можно усмотреть непо- средственно из уравнений движения F9.7), F9.8). При к = 0 они принимают вид = msu2esi ns' Просуммировав обе части уравнения по s, в силу F9.5) получим слева нуль; поэтому для совместности уравнений при к = 0 должно быть и ^ mses = 0. 248 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI При учете же следующих, ангармонических членов появляются различного рода процессы распада и рассеяния этих волн друг на друге. Взаимодействие может приводить также и к образова- нию «связанных состояний» волн (фононов — см. ниже), — новых ветвей спектра, отсутствующих в гармоническом приближении. Кроме того, предполагается, что решетка обладает идеаль- ной периодичностью. Надо иметь в виду, что идеальная пе- риодичность в некоторой степени нарушается (даже без учета возможных «примесей» и других дефектов решетки), если в кристалле имеются атомы различных изотопов, распределен- ные беспорядочным образом. Это нарушение, однако, сравни- тельно невелико, если относительная разность атомных весов изотопов мала или если одного изотопа значительно больше остальных. В этих случаях изложенная картина в первом при- ближении остается в силе, а в следующих приближениях возни- кают различного рода процессы рассеяния волн на неоднород- ностях решеткиг) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Колебания кристаллической решетки» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Появление «весового» множителя ms в соотношениях F9.11) связано с 