Важнейшим объектом применения статистики Бозе являет- ся электромагнитное излучение, находящееся в тепловом равно- весии,—так называемое черное излучение. Черное излучение можно рассматривать как газ, состоящий из фотонов. Линейность уравнений электродинамики отража- ет тот факт, чти фотоны не взаимодействуют друг с другом (принцип суперпозиции для электромагнитного поля), так что фотонный газ можно считать идеальным. В силу целочисленно- сти момента импульса фотонов этот газ подчиняется статисти- ке Бозе. Если излучение находится не в вакууме, а в материальной среде, то условие идеальности фотонного газа требует также и малости взаимодействия излучения с веществом. Это условие выполняется в газах (во всем спектре излучения, за исключени- ем лишь частот, близких к линиям поглощения вещества); при большой же плотности вещества оно может соблюдаться лишь при очень высоких температурах. § 63 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 217 Следует иметь в виду, что наличие хотя бы небольшого ко- личества вещества вообще необходимо для самой возможности установления теплового равновесия в излучении, поскольку вза- имодействие между самими фотонами можно считать полностью отсутствующимг) . Механизм, обеспечивающий установление равновесия, зак- лючается при этом в поглощении и испускании фотонов веще- ством. Это обстоятельство приводит к существенной специфи- ческой особенности фотонного газа: число частиц N в нем яв- ляется переменной величиной, а не заданной постоянной, как в обычном газе. Поэтому N должно само определиться из усло- вий теплового равновесия. Потребовав минимальности свобод- ной энергии газа (при заданных Т и V), получим в качестве одного из необходимых условий dF/dN = 0. Но поскольку (dF/dN)T,v — №•> т0 мы находим, что химический потенциал газа фотонов равен нулю: /i = 0. F3.1) Распределение фотонов по различным квантовым состояни- ям с определенными значениями импульса fik и энергиями е = = tvuj = tick (и определенными поляризациями) дается, следова- тельно, формулой E4.2) с \i = 0: Это — так называемое 'распределение Планка. Считая объем достаточно большим, перейдем обычным об- разом (см. II, § 52) от дискретного к непрерывному распреде- лению собственных частот излучения. Число колебаний с ком- понентами волнового вектора к в интервалах d?k = dkxdkydkz равно Vd3k/BnK1 а число колебаний с абсолютной величиной волнового вектора в интервале dk есть соответственно Вводя частоту uj = ck и умножая на 2 (два независимых на- правления поляризации колебаний), получим число квантовых состояний фотонов с частотами в интервале между ио yluo -\- duo\ —о-- F3-3) ) Отвлекаясь от совершенно ничтожного взаимодействия (рассеяние све- та на свете), связанного с возможностью возникновения виртуальных электронно-позитронных пар (см. IV, §127). 218 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Умножив распределение F3.2) на эту величину, найдем число фотонов в данном интервале частот: V uj duo F3.4) 1 еПш/Т _ х ' а умножив еще на Hui, получим энергию излучения, заключенную в этом участке спектра: Vh usdu dEu = F3.5) Эта формула для спектрального распределения энергии черного излучения называется формулой Планка х) . Будучи выражена через длины волн А = 2тгс/о;, она имеет вид dEx = При малых частотах (Hlj Рэлея-Джинса: 16тг2сПУ d\ А5 -1 F3.6) Т) формула F3.5) дает формулу V-^u2dw. F3.7) Обратим внимание на то, что она не содержит квантовой посто- янной h и может быть получена умножением числа собственных колебаний F3.3) на Т; в этом смысле она соответствует клас- сической статистике, в которой на каждую колебательную сте- пень свободы должна прихо- диться энергия Т (закон равно- распределения, §44). В обратном предельном слу- чае больших частот (Нш ^> Т) формула F3.5) дает 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 х3 ех-1 / / 1 { \ \ \ \ \ \ X 0 1 2 3 4 5 Рис. 7 F3.? {формула Вина). На рис. 7 изображен график функции х3/(ех — 1), отвечающей распределению F3.5). Открытие этого закона Планком (М. Planck) в 1900 г. положило начало созданию квантовой теории. § 63 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 219 Плотность спектрального распределения энергии черного излучения по частотам dE^/duo имеет максимум при часто- те ио = uimi определяющейся равенством ^ = 2,822. F3.9) Таким образом, при повышении температуры положение макси- мума распределения смещается в сторону больших частот про- порционально Т [закон смещения)х) . Вычислим термодинамические величины черного излучения. При \i = 0 свободная энергия F совпадает с О (так как F = = Ф — PV = N/j, + О). Согласно формуле E4.4), в которой пола- гаем \i = 0 и переходим обычным образом (с помощью F3.3)) от суммирования к интегрированию, получаем F = = Т-^т / ш<2 41 - e~nw'T)dw. F3.10) 7Г С J 0 Вводя переменную интегрирования х = Нш/Т и интегрируя по частям, получим оо Г4 п4 F = -V Зтг2й3с3 о /x3dx Стоящий здесь интеграл равен тг4/15 (см. примеч. на с. 202). Таким образом, Если Т измеряется в градусах, то коэффициент а (постоянная Стефана-Болъцмана) равен а = ^^ = 5,67 • 10~5 з 2 4. F3.12) 6№3с2 ' с3 • град4 v J Энтропия ~ дТ ~ Зс Плотность распределения по длинам волн dE\/d\ тоже имеет максимум, но при ином значении аналогичного отношения: 27гПс/ТХш = 4,965. Таким образом, точка максимума (Ат) распределения по длинам волн сме- щается обратно пропорционально температуре. 220 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Она пропорциональна кубу температуры. Полная энергия излу- чения Е = F + TS равна Е = ^VT4 = -3F. F3.14) с Это выражение можно было бы, разумеется, получить и непо- средственным интегрированием распределения F3.5). Таким об- разом, полная энергия черного излучения пропорциональна чет- вертой степени температуры (закон Больцмана). Для теплоемкости излучения имеем (§)v = ^T5V. F3.15) Наконец, давление PV = -. F3.17) О Как и следовало, для газа фотонов получается то же предель- ное выражение для давления, что и у ультрарелятивистского электронного газа (§61); соотношение F3.17) является непо- средственным следствием линейной зависимости (е = ср) между энергией и импульсом частицы. Полное число фотонов в черном излучении есть дт- V I UU UjUU V -L I X (IX _ V f u2du _ VTS f 7г2с3 J ehuj/T - 1 7T2c3h3 J -1 0 0 Стоящий здесь интеграл выражается через ("C) (см. примеч. на с. 202). Таким образом, N = Щ-(^Уу = 0,244(f )V. F3.18) тг V Не / \Нс/ При адиабатическом расширении (или сжатии) газа фото- нов объем и температура связаны друг с другом соотношени- ем VT3 = const. В силу F3.16) давление и объем связаны при этом отношением PI/4/3 = const. Сравнивая с F1.8), мы видим, что уравнение адиабаты газа фотонов совпадает (как и следова- ло ожидать) с адиабатой ультрарелятивистского газа. Рассмотрим какое-либо тело, находящееся в тепловом равно- весии с окружающим его черным излучением. Тело непрерывно отражает и поглощает падающие на него фотоны и в то же вре- мя само излучает новые, причем в равновесии все эти процессы § 63 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 221 взаимно компенсируются таким образом, чтобы распределение фотонов по частотам и направлениям оставалось в среднем не- изменным. Благодаря полной изотропии черного излучения из каждого элемента его объема исходит равномерно во все стороны поток энергии. Введем обозначение для спектральной плотности черного излучения, отнесенной к единице объема и единичному интервалу телесных углов. Тогда плотность потока энергии с частотами в интервале duo, исходя- щего из каждой точки в элемент телесного угла do, будет ceo(uo)doduo. Поэтому энергия излучения (с частотами в duo), падающего в единицу времени на единицу площади поверхности тела под уг- лом в к ее нормали, есть сео (ио) cos 6do duo, do = 2тг sin 6d9. Обозначим через A(uo, в) поглощателъную способность тела как функцию частоты излучения и направления падения; эта величина определяется как доля падающей на поверхность те- ла энергии излучения данного интервала частоты, поглощаемая этим телом, причем в эту долю не включается излучение, про- шедшее насквозь через тело, если таковое имеется. Тогда коли- чество поглощенного (в 1 с на 1 см2 поверхности) излучения бу- дет се0МА(о;, в) cos 6doduo. F3.20) Предположим, что тело не рассеивает излучения и не флуо- ресцирует, т. е. отражение происходит без изменения угла в и частоты. Кроме того, будем считать, что излучение не прохо- дит сквозь тело; иначе говоря, все неотраженное излучение пол- ностью поглощается. Тогда количество излучения F3.20) долж- но компенсироваться излучением, испускаемым самим телом в тех же направлениях и с теми же частотами. Обозначив интен- сивность испускания (с 1 см2 поверхности) через J(uo16)duo do и приравнивая ее поглощаемой энергии, получим следующее соот- ношение: J(uo, 6H(ио)А(ио, в) cos в. F3.21) Функции ./(о;, в) и А(ио, #), разумеется, различны для разных тел. Мы видим, однако, что их отношение оказывается не 222 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ зависящей от свойств тела универсальной функцией частоты и направления: определяющейся распределением энергии в спектре черного из- лучения (при температуре, равной температуре тела); это утверждение составляет содержание так называемого закона Кирхгофа. Если тело рассеивает свет, то закон Кирхгофа может быть сформулирован лишь более ограниченным образом. Поскольку отражение в этом случае происходит с изменением угла #, то, исходя из условия равновесия, можно требовать лишь равенства поглощаемого со всех сторон излучения (данной частоты) пол- ному испусканию телом во все стороны: / J(u, e)do0(uj) / А(ш, в) cos 6do. F3.22) Угол в меняется, вообще говоря, и в том случае, когда из- лучение может проходить насквозь через тело (благодаря пре- ломлению при входе в тело и при выходе из него). В этом слу- чае соотношение F3.22) должно еще быть проинтегрировано по всей поверхности тела; функции А(ио, в) и J(w, в) зависят при этом не только от вещества тела, но и от его формы и точки поверхности. Наконец, при наличии рассеяния, сопровождающегося изме- нением частоты (флуоресценция), закон Кирхгофа имеет место лишь для полных интегралов как по направлениям, так и по ча- стотам излучения: // J(uo,6)doduo = c И е0 (и) А(ш, в) cos вdo duo. F3.23) Тело, полностью поглощающее все падающее на него излуче- ние, называется абсолютно черным1) . Для такого тела по опре- делению А(ио,6) = 1, и его испускательная способность полно- стью определяется функцией Jo(a;,0)oMcos0, F3.24) ) Такое тело может быть осуществлено в виде полости с хорошо погло- щающими внутренними стенками, снабженной маленьким отверстием. Вся- кий луч, падающий извне в это отверстие, мог бы снова попасть в него и выйти наружу, лишь претерпев многократное отражение от стенок полости. Поэтому при достаточно малых размерах отверстия полость будет погло- щать практически все падающее на отверстие излучение, и таким образом отверстие будет представлять собой абсолютно черное тело. § 63 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 223 одинаковой для всех абсолютно черных тел. Отметим, что ин- тенсивность испускания абсолютно черного тела весьма просто зависит от направления — она пропорциональна косинусу угла с нормалью к поверхности тела. Полная интенсивность испус- кания абсолютно черного тела Jo получается интегрировани- ем F3.24) по всем частотам и всем телесным углам в полусфере: оо тг/2 Jo = с / e$(uo)duo • / 2ncos6sm6d6 = —, J J 4V о о где Е определяется формулой F3.14). Таким образом, Jo = сгТ4, F3.25) т. е. полная интенсивность испускания абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры. Наконец, рассмотрим излучение, не находящееся в тепловом равновесии, причем неравновесным может быть как спектраль- ное распределение излучения, так и его распределение по напра- влениям. Пусть е(ио, и) duo do есть пространственная плотность этого излучения в спектральном интервале duo и с направления- ми п волнового вектора в элементе телесного угла do. Можно ввести понятие о температуре излучения в каждом отдельном небольшом интервале частот и направлений как о температу- ре, при которой плотность е(о;,п) равна значению, даваемому формулой Планка, т. е. е(ио, п) = е$(ио). Обозначив эту температуру как Twn, будем иметь Тип = —г ^ Г-Г. F3.26) Ь 1+ ^з |_ 4тг с e(cj, 1 Представим себе абсолютно черное тело, излучающее в окру- жающее (пустое) пространство. Излучение свободно распро- страняется вдоль прямолинейных лучей и вне тела уже не бу- дет находиться в тепловом равновесии, — оно отнюдь не бу- дет изотропным по всем направлениям, каковым должно быть равновесное излучение. Поскольку фотоны распространяются в пустоте, не взаимодействуя друг с другом, мы имеем осно- вания для строгого применения теоремы Лиувилля к функ- ции распределения фотонов в их фазовом пространстве, т. е. по координатам и компонентам волнового вектора1) . Соглас- 1) Рассматривая предельный случай геометрической оптики, мы можем говорить о координатах фотона. 224 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ но этой теореме функция распределения остается постоянной вдоль фазовых траекторий. Но функция распределения совпа- дает, с точностью до зависящего от частоты множителя, с про- странственной плотностью излучения е(о;,п, г) данной частоты и направления. Поскольку частота излучения тоже не меняется при его распространении, мы можем сформулировать следую- щий важный результат: во всяком элементе телесного угла, в котором (из данной точки пространства) распространяется из- лучение, плотность излучения е(о;,п, г) будет равна плотности, которую оно имело внутри испускающего его черного тела, т. е. плотности eo(w) черного излучения. В то время, однако, как в равновесном излучении такая плотность существует для всех направлений, здесь она будет иметь место лишь для некоторого избранного интервала направлений. Определяя температуру неравновесного излучения соглас- но F3.26), мы можем выразить этот результат иначе, сказав, что температура Тиоп будет равна температуре Т излучающе- го черного тела для всех направлений, в которых (в каждой данной точке пространства) вообще имеется распространяюще- еся излучение. Если же определять температуру излучения по усредненной по всем направлениям плотности, то она окажется, разумеется, ниже температуры черного тела. Все эти следствия теоремы Лиувилля полностью сохраняют свою силу и в случае наличия отражающих зеркал и прелом- ляющих линз —при соблюдении, конечно, условий применимости геометрической оптики. С помощью линз или зеркал можно сфо- кусировать излучение, т. е. увеличить диапазон направлений, по которым идут лучи (в данную точку пространства). Тем самым можно повысить среднюю температуру излучения в этой точке; однако, как это вытекает из сказанного выше, никоим образом нельзя сделать ее выше температуры черного тела, из которого это излучение было испущено.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Черное излучение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Открытие этого закона Планком (М. Planck) в 1900 г. положило начало 