При низких температурах свойства бозе-газа не имеют ниче- го общего со свойствами ферми-газа. Это заранее очевидно из того, что у бозе-газа состоянием наименьшей энергии, в котором газ находится при Т = 0, должно быть состояние с Е = 0 (все ча- стицы в квантовом состоянии с е = 0), между тем как ферми-газ при абсолютном нуле обладает отличной от нуля энергией. Если при заданной плотности N/V газа понижать его тем- пературу, то химический потенциал /i, определяемый уравнени- ем E6.5) (с нижним знаком), будет увеличиваться, т.е. будучи отрицательным, уменьшаться по абсолютной величине. Он до- стигнет значения \i = 0 при температуре, определяемой равен- ством оо N _ g(mT)^ [ ^ (б2л) т/ /о 2»-3 V V Z7T Г1 о Входящий сюда интеграл выражается через ("-функцию (см. примеч. на с. 202; обозначая искомую температуру через То, по- лучим m з,31 Г J2/3 <•«> При Т < Tq уравнение E6.5) не имеет отрицательных решений, между тем как в статистике Бозе химический потенциал должен быть отрицательным при всех температурах. 214 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Это кажущееся противоречие связано с тем, что в данных условиях не законен переход от суммирования (в формуле E4.3)) к интегрированию (в формуле E6.5)). Действительно, при этом переходе первый член суммы (с Sk = 0) умножается на у/е = 0, т. е. выпадает из суммы. Между тем, при понижении темпера- туры частицы должны скапливаться именно в этом состоянии с наименьшей энергией, пока при Т = 0 туда не попадут все они. Математически это обстоятельство проявляется в том, что в сумме E4.3) при переходе к пределу \i —>> 0 сумма всех членов ряда, за исключением первого, стремится к конечному пределу (определяемому интегралом E6.5)), а первый член (с е^ = 0) стремится к бесконечности. Устремляя \i не к нулю, а к неко- торому малому конечному значению, можно, следовательно, придать указанному первому члену суммы требуемое конечное значение. Поэтому в действительности при Т <Tq дело будет обстоять следующим образом. Частицы с энергией е > 0 распределены по формуле E6.4) с /i = 0: _ gms/2V Полное число частиц с энергиями е > 0 будет, следовательно, равно Т 3/2 Остальные N?=o = N[1 - (Т/Т0K/2] F2.4) частиц находятся в низшем состоянии, т. е. имеют энергию е = О1) . Энергия газа при Т <Tq определяется, конечно, только теми частицами, которые имеют е > 0; полагая в E6.7) \i = 0, имеем Е= ^ /„3/2 , И- о Этот интеграл приводится к ("E/2) (см. примеч. на с. 202) и по- лучается /Ф\3/2 3/2T5/2 Е = 0,7707VT( — ) = 0,128g^^—V. F2.5) 1) Явление накапливания частиц в состоянии с е = 0 называют конденса- цией Бозе-Эйнштейна. Подчеркнем, что речь может при этом идти разве что о «конденсации в импульсном пространстве», никакой реальной конден- сации в газе, конечно, не происходит. § 62 ВЫРОЖДЕННЫЙ БОЗЕ-ГАЗ 215 Отсюда теплоемкость Cv = Щ, F2.6) т.е. теплоемкость пропорциональна Т3/2. Интегрируя теплоем- кость, находим энтропию: F2.7) F2.8) и свободную энергию F = Е — TS: F = ~E. Последний результат вполне естествен, так как при \i = О F = Ф - PV = Nfj, + О = О. Для давления Р = —{dF/dV)T имеем 3/2T5/2 Р = 0,0851g^-—=—. F2.9) Мы видим, что при Т < Tq давление пропорционально Т5/2 и не зависит вовсе от объема. Это обстоятельство — естественное следствие того, что частицы, находящиеся в состоянии с е = О, не обладая импульсом, не дают никакого вклада в давление. В самой точке Т = Tq все перечисленные термодинами- ческие величины непрерывны. Можно, однако, показать, что производная от теплоемкости по температуре испытывает в этой точке скачок (см. задачу к этому параграфу). Кривая са- мой теплоемкости как функции от температуры имеет в точ- ке Т = Tq излом, причем в этой точке теплоемкость максималь- на (и составляет 1,28 • -Nj :).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вырожденный бозе-газ» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
