При температурах, низких по сравнению с температурой вы- рождения Тр, функция распределения E7.4) имеет вид, изобра- женный на рис. 6 штриховой линией: она заметно отлична от единицы или нуля лишь в узком интервале значений энергии ?, близких к граничной энергии ер. Ширина этой, как говорят, зо- ны размытости распределения Ферми — порядка величины Т. Выражения E7.6), E7.7) представляют собой первые члены разложения соответствующих величин по степеням малого отно- шения Т/Тр. Определим следующие члены этого разложения. *) Температура вырождения, соответствующая плотности электронного га- за, равной (e2m/h2)sZ2, составляет 40 Z4/s эВ и 0,5 • 106 Z4/s К. 58 ТЕПЛОЕМКОСТЬ ВЫРОЖДЕННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА 201 В формулу E6.6) входит интеграл вида / = 0 где f(e) — некоторая функция (такая, что интеграл сходится); в E6.6) f(e) = ?3/2. Преобразуем этот интеграл, сделав подста- новку е — \i = Tz: = [ f(» + Tz)Tdz = Т [ /О* ~ Tz)dz Г J e*+l J e-'+l J оо f(p + Tz)dz о В первом интеграле пишем и находим fl Щ -L ОО Tz)dz = f(e)de-T f fb-T*)d*+T \Щ1А J J ez+l J ez + l 1 0 0 Во втором интеграле заменяем верхний предел бесконечностью, имея в виду, что /j,/T ^> 1, а интеграл быстро сходится1) . Таким образом, получим о о Разлагаем теперь числитель подынтегрального выражения во втором интеграле в ряд Тэйлора по степеням z и интегрируем почленно: 1 = J f(e)de 0 ) Эта замена означает пренебрежение экспоненциально малыми членами. Надо иметь в виду, что получающееся ниже разложение E8.1) представляет собой асимптотический (а не сходящийся) ряд. 202 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Подставляя значения интеграловг) , имеем окончательно I = J f(e)de + уТ2/'М + 7-^T4f'"(fi) + ... E8.1) о х) Интегралы такого типа вычисляются следующим образом: оо оо /х — 1 j r °° I «? = / zx-xe-z Y(-)ne-nz ¦ dz = оо = r(x) V(-)n+14 = (i - г1-)? оо /zx~ dz 1 _ )Г(х)С(х) (х > 0), О где ?(ж) — ^-функция Римана. При х = 1 это выражение дает неопределен- ность; значение интеграла ( _dz_ = 1п2. о При целом четном х (ж = 2п) (^-функция выражается через так называемые числа Бернулли Вп, и получается еЧ1 2п о Аналогичным образом вычисляются следующие интегралы: е — о При целом четном х = 2п имеем on B7гJ"Д„ 7 z2n-4z J ez-l 4п о Приведем для справок несколько первых чисел Бернулли и несколько зна- чений (^-функций: в =- в =— в =— в =—¦ 1 6' 2 30' 3 42' 4 30' СC/2) = 2,612, СE/2) = 1,341, СC) = 1,202, СE) = 1,037, ; ГC/2) = лД/2, ГE/2) = Зл/^/4. § 59 ТЕПЛОЕМКОСТЬ ВЫРОЖДЕННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА 203 Третий член разложения приведен для справок; здесь он нам не понадобится. Полагая в формуле E8.1) / = ?3/2 и подставляя в E6.6), по- лучим искомый следующий член разложения потенциала О при низких температурах: ^f^. E8.2) Величина О при абсолютном нуле температуры обозначена сим- волом Oq. Рассматривая второй член как малую добавку к Oq и вы- ражая в нем \i через Т и V с помощью «нулевого приближе- ния» E7.5), мы можем непосредственно написать выражение для свободной энергии (согласно теореме о малых добавках B4.16)): f\ E8.3) где мы ввели для краткости обозначение ^\ 2/Зш ) ? E8-4) Отсюда находим энтропию газа (J/\ E8.5) E8.6) \ 1 V / и энергию Таким образом, теплоемкость вырожденного ферми-газа при низких температурах пропорциональна первой степени тем- пературы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплоемкость вырожденного электронного газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
