Подобно тому, как это было сделано в §40, можно вычис- лить энтропию также и неравновесных ферми- и бозе-газов, а из условия максимальности энтропии снова получить функции распределения Ферми и Бозе. 192 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ В случае Ферми в каждом из квантовых состояний может находиться не более одной частицы, но числа Nj не малы, а, вообще говоря, того же порядка величины, что и числа Gj (все обозначения — те же, что и в §40). Число возможных способов распределения Nj одинаковых частиц по Gj состояниям (не более чем по одной в каждом) есть не что иное, как число способов, которыми можно выбрать Nj из Gj состояний, т.е. число сочетаний из Gj элементов по Nj. Таким образом, имеем AFd = Gjl/WiGj - Nd)\\. E5.1) Логарифмируя это выражение и воспользовавшись для лога- рифмов всех трех факториалов формулой D0.3), найдем S = ^{Gj \nGj - Nj inNj - (Gj - Nj) ]n(Gj - Nj)}. E5.2) з Вводя снова средние числа заполнения квантовых состояний uj = Nj/Gjj получим окончательно следующее выражение для энтропии неравновесного ферми-газа: S = - Y^ Gj[uj \nuj + A - uj) ln(l - Щ)]. E5.3) i Из условия максимальности этого выражения с помощью уравнений D0.8) легко найти, что равновесное распределение определяется формулой т.е., как и следовало, совпадает с распределением Ферми. Наконец, в случае статистики Бозе в каждом квантовом со- стоянии может находиться любое число частиц, так что стати- стический вес AFj есть число всех способов, которыми можно распределить Nj частиц по Gj состояниям. Это число равно1) АГ, = [{Gj + Nj - l)!]/[(Gj - ly.Njl]. E5.4) ) Речь идет о числе способов размещения, скажем, Nj одинаковых шаров по Gj ящикам. Изобразим шары в виде ряда последовательно расположен- ных Nj точек; ящики перенумеруем и изобразим условно границы между ними Gj — 1 вертикальными черточками, расположенными в ряду точек. Так, рисунок изображает 10 шаров, размещенных в пяти ящиках: 1 шар в первом ящике, 3 — во втором, 0 — в третьем, 4 — в четвертом и 2 — в пятом. Всего число мест (на которых находятся точки или черточки) в этом ряду есть Gj + -\-Nj — 1. Искомое число размещений шаров по ящикам есть число способов, которыми можно выбрать Gj — 1 мест для черточек, т. е. число сочетаний из Nj + G3¦ — 1 элементов по Gj — 1, откуда и получается приведенная в тексте величина. § 56 ФЕРМИ- И БОЗЕ-ГАЗЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ 193 Логарифмируя это выражение и пренебрегая при этом единицей по сравнению с очень большими числами Gj + Nj и Gj, получим S = ^2{(Gj + Nj) \n(Gj + Nj) - Nj \nNj - G3 hiG3]. E5.5) i Вводя числа nj, напишем энтропию неравновесного бозе-газа в виде S = ^2 GA(l + Щ) 1п(! + Щ) ~ ™з 1п™7']- E5-6) п Легко убедиться в том, что условие максимальности этого выражения действительно приводит к распределению Бозе. Обе формулы E5.2) и E5.5) для энтропии в предельном слу- чае Nj ^C Gj переходят, естественно, в больцмановскую форму- лу D0.4). В болыгмановское выражение D0.2) переходят также и статистические веса E5.1) и E5.4) статистик Ферми и Бозе; для этого надо положить Gj\ « {Gj - Nj)\Gf, {Gj + Nj - 1)! « {Gj - l)\Gf. Необходимо, однако, иметь в виду, что такой переход в стати- стических весах означает пренебрежение в них членами поряд- ка Nj/Gj, которые сами по себе, вообще говоря, не малы; но при логарифмировании эти члены дают в энтропии поправку малого относительного порядка Nj/Gj. Наконец, выпишем формулу для энтропии бозе-газа в важ- ном предельном случае, когда число частиц в каждом кванто- вом состоянии велико (так что Nj ^> Gj, uj ^> 1). Как известно из квантовой механики, этот случай соответствует классической волновой картине поля. Статистический вес E5.4) приобретает вид N = Фчг E5'7) а энтропия 5 >,-1п^. E5.8) 3 Мы используем эту формулу в дальнейшем, в § 71.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неравновесные ферми- и бозе-газы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
