Если температура идеального газа (при заданной его плот- ности) достаточно низка, то статистика Больцмана становится неприменимой, и должна быть построена другая статистика, в которой средние числа заполнения различных квантовых состоя- ний частиц не предполагаются малыми. Эта статистика, однако, оказывается различной в зависи- мости от того, какого рода волновыми функциями описывает- ся газ, рассматриваемый как система N одинаковых частиц. Как известно, волновые функции должны быть либо антисим- метричными, либо симметричными по отношению к переста- новкам любой пары частиц, причем первый случай имеет ме- сто для частиц с полуцелым, а второй—для частиц с целым спином. Для системы частиц, описывающейся антисимметричными волновыми функциями, справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не бо- лее одной частицы. Статистика, основанная на этом принци- пе, называется статистикой Ферми (или статистикой Ферми- Дирака) х) . Подобно тому как мы это делали в § 37, применим распре- деление Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии; как уже указывалось в § 37, это можно делать и при наличии обменного взаимодействия между частицами. Снова обозначим через О& термодинамический по- тенциал этой системы частиц и, согласно общей формуле C5.3), будем иметь ?[exp(^)n*], E3.1) nk поскольку энергия п^ частиц в k-м состоянии есть просто Согласно принципу Паули числа заполнения каждого состояния х) Она была предложена Ферми (Е. Fermi, 1926) для электронов, а ее связь с квантовой механикой была выяснена Дираком (P. A. M. Dirac, 1926). 190 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ могут принимать лишь значения 0 или 1. Поэтому получаем Поскольку среднее число частиц в системе равно производ- ной от потенциала О по химическому потенциалу /i, взятой с обратным знаком, то в данном случае искомое среднее число частиц в к-м квантовом состоянии получится как производная или окончательно Это и есть функция распределения для идеального газа, под- чиняющегося статистике Ферми, или, как говорят коротко, для ферми-газа. Как и следовало ожидать, все n& ^ 1. При exp[(/i— —Sk)/T] <С 1 формула E3.2) переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана. Распределение Ферми нормировано условием ? е(.»-,!/т+1 E3-3) где 7V —полное число частиц в газе. Это равенство определяет в неявном виде химический потенциал как функцию Т и N. Термодинамический потенциал О газа в целом получается суммированием О& по всем квантовым состояниям: E3.4)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределения Ферми» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
