Рассмотрим тело, атомы которого совершают малые ко- лебания относительно некоторых положений равновесия. Речь может идти о колебаниях атомов кристалла или о колебаниях атомов в молекулах газа (в последнем случае движение моле- кулы как целого не влияет на колебания атомов в ней и не сказывается на результатах). Как известно из механики, функция Гамильтона (энергия) системы, состоящей из произвольного числа частиц, совершаю- щих малые колебания, может быть представлена в виде суммы где qa — так называемые нормальные координаты колебаний (в точках равновесия qa = 0), ра = qa — соответствующие им обоб- щенные импульсы, а ооа — частоты колебаний. Другими слова- ми, Е(р, q) распадается на сумму независимых членов, каждый из которых соответствует отдельному нормальному колебанию 112 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ГЛ. III (или, как говорят, осциллятору). В квантовой механике то же самое имеет место для оператора Гамильтона системы, так что каждый осциллятор квантуется независимо, и уровни энергии системы представляются суммами (па — целые числа). В силу этих обстоятельств распределение Гиббса для систе- мы в целом распадается на произведение независимых множите- лей, каждый из которых определяет статистическое распреде- ление для отдельного осциллятора. На этом основании мы рас- сматриваем ниже отдельный осциллятор. Определим распределение вероятностей для координаты q осциллятора1) (индекс а, указывающий номер осциллятора, в дальнейшем везде опускаем). В классической статистике этот вопрос решался бы совсем просто: поскольку потенциальная энергия осциллятора есть A/2)о;2д2, то распределение вероят- ностей энергия дается формулой dwq = Ае~и или, определяя А из условия нормировки, (интегрирование по dq можно производить ввиду быстрой схо- димости интеграла в пределах от —оо до +оо). Обратимся к решению поставленной задачи в квантовом слу- чае. Пусть ipn(q) — волновые функции стационарных состояний осциллятора, соответствующие уровням энергии 1 + еп = Пы\п + Если осциллятор находится в п-м состоянии, то квантово- механическое распределение вероятностей для его координаты определяется квадратом ф\ (в данном случае функции фп ве- щественны, и поэтому мы пишем просто ф\ вместо квадрата модуля |VVi|2)- Искомое статистическое распределение вероят- ностей получится, если умножить ф^ на вероятность wn найти осциллятор в п-м состоянии, а затем суммировать по всем воз- можным состояниям. Нормальная координата q имеет размерность см • г 1/2 § 30 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 113 Согласно распределению Гиббса wn имеет вид Wn = ае~?п/т, где а —постоянная. Таким образом, получаем формулу C0-2) п=0 которая находится, разумеется, в полном соответствии с общей формулой E.8). Для вычисления стоящей здесь суммы можно применить сле- дующий прием. Вводим обозначение dwq = pqdq и составляем производную 2аУефп. dq t*o dq Введя оператор импульса р = —iHd/dq и помня, что импульс осциллятора имеет отличные от нуля матричные элементы лишь для переходов с п —>• п =Ь 1 (см. III, § 23), пишем: — = -рфп = -(Pn-l,nV>n-l (использованы соотношения Pn-i,n = —iwqn-i,n, Pn+i,n = меж:ду матричными элементами импульса и координаты). Таким образом, имеем f- ОО "t = 2-f\ E fti-i,«iM»-ie-e"/r " q ^n=0 n=0 В первой сумме меняем обозначение индекса суммирования (п —>> п + 1) и, принимая во внимание соотношения ?n+i = ^n + 'wj, 9n+i,n = 9п,п+ъ 9-1,0 = 0, находим ОО Аналогичным образом найдем равенство qpq = оA + е п=0 114 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ГЛ. III Сравнив оба равенства, получим уравнение dpq откуда ( 2 ш , i fow = const • exp — q — tn — Определяя постоянную из условия нормировки, получим окончательно следующую формулу (F. Block, 1932): C0-3) Таким образом, и в квантовом случае вероятности различных значений координаты осциллятора распределены по закону ви- да ехр(—од2), но с другим по сравнению с классической стати- стикой значением коэффициента а. В предельном случае Ни <^ ^С Т, когда квантование уже не играет роли, формула C0.3), как и следовало, переходит в C0.1). В обратном предельном случае fvuj ^> T формула C0.3) пере- ходит в т. е. в чисто квантовое распределение вероятностей координа- ты в нормальном состоянии осциллятора1) . Это соответствует тому, что при Т <^ huo колебания осциллятора практически не возбуждены. Распределение вероятностей для импульса осциллятора мож- но написать по аналогии с C0.3), не проводя вычислений зано- во. Дело в том, что задача о квантовании осциллятора полно- стью симметрична в отношении координаты и импульса, и вол- новые функции осциллятора в ^-представлении совпадают с его обычными координатными волновыми функциями (с заменой q нар/о;; см. III, §23, задача 1). Поэтому искомое распределение есть В классическом предельном случае (Ни) ^С Т) оно переходит в обычное распределение Максвелла dwp = BnT)-1/2e-p2/2Tdp. C0.5)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение вероятностей для осциллятора» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Нормальная координата q имеет размерность см • г 