Энергия Е(р, q) в формуле распределения Гиббса классиче- ской статистики всегда может быть представлена как сумма двух частей—кинетической и потенциальной энергий. Из них первая есть квадратичная функция от импульсов атомов*) , х) Предполагается, что мы пользуемся декартовыми координатами. § 29 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА 107 а вторая — функция от их координат, причем вид этой функ- ции зависит от закона взаимодействия частиц внутри тела (и от внешнего поля, если такое имеется). Если кинетическую и потенциальную энергии обозначить соответственно как К(р) и U(q), то Е(р, q) = К(р) + U(q), и вероятность dw = p(p, q)dp dq напишется в виде т. е. разбивается на произведение двух множителей, из которых один зависит только от координат, а другой— только от им- пульсов. Это означает, что вероятности для импульсов и коор- динат независимы друг от друга в том смысле, что определен- ные значения импульсов никак не влияют на вероятности тех или иных значений координат, и обратно. Таким образом, веро- ятность различных значений импульсов может быть написана в ВИД6 dwp = ae-K^Tdp, B9.1) а распределение вероятности для координат Так как сумма вероятностей всех возможных значений им- пульсов (и то же самое для координат) должна быть равна еди- нице, то каждая из вероятностей dwp и dwq должна быть нор- мирована, т. е. их интегралы по всем возможным для данного тела значениям импульсов или координат должны быть равны единице. Из этих условий можно определить постоянные а и b в B9.1) и B9.2). Займемся изучением распределения вероятностей для им- пульсов, еще раз подчеркнув при этом весьма существенный факт, что в классической статистике такое распределение нис- колько не зависит от рода взаимодействия частиц внутри систе- мы или от рода внешнего поля и потому распределение может быть выражено в виде, пригодном для любых тел1) . Кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий каждого из входящих в него атомов, и вероятность опять разбивается на произведение множителей, из которых каждый зависит от импульсов только одного из атомов. Это вновь означает, что вероятности импульсов различных атомов не зависят друг от друга, т. е. импульс одного из них никак не влияет на вероятности импульсов всех других. Поэтому можно 1)~В квантовой статистике это утверждение, вообще говоря, не справед- ливо. 108 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ГЛ. III писать распределение вероятностей для импульсов каждого ато- ма в отдельности. тт pI +pl +р1 Для атома с массой т кинетическая энергия равна , 2т где рх, Ру, Pz —декартовы составляющие его импульса, а распре- деление вероятностей имеет вид dwp = Постоянная а определяется условием нормировки. Интегриро- вания по dpXl dpyi dpz разделяются и производятся с помощью известной формулы В результате находим а = BтгтТ) 3/2, и мы получаем оконча- тельное распределение вероятностей для импульсов в виде P*dPvdP*- B9-3) Переходя от импульсов к скоростям (р = mv), можно написать аналогичное распределение для скоростей: 7 f m \ Г m(vl +Vy +v%)~\ , лЛ dww = exp dvxdvydvz. B9.4) \27rTj P [ 2T J x y z У J Это — так называемое распределение Максвелла (J. С. Мах- well, 1860). Заметим, что оно снова распадается на произведение трех независимых множителей: /., B9.5) каждый из которых определяет распределение вероятностей для отдельной компоненты скорости. Если тело состоит из молекул (например, многоатомный газ), то наряду с распределением Максвелла для отдельных ато- мов такое же распределение имеет место и для поступательного движения молекул как целых. Действительно, из кинетической энергии молекулы можно выделить в виде слагаемого энергию поступательного движения, в результате чего искомое распре- деление выделится в виде выражения B9.4), в котором под m надо будет понимать полную массу молекулы, а под vx, vy, vz — § 29 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА 109 компоненты скорости ее центра инерции. Подчеркнем, что рас- пределение Максвелла для поступательного движения молекул может иметь место вне зависимости от характера внутримо- лекулярного движения атомов (и вращения молекулы), в том числе и в случае, когда последнее должно описываться кванто- вым образомг) . Выражение B9.4) написано в декартовых координатах в «пространстве скоростей». Если от декартовых координат пе- рейти к сферическим, то получится dww = (—У1*в'™2/2Tv2 sm6 - d6 dip dv, B9.6) \2tttJ * ' v J где v — абсолютная величина скорости, а в и ср — полярный угол и азимут, определяющие направление скорости. Интегрируя по углам, найдем распределение вероятностей для абсолютной ве- личины скорости dWy = Yevdv_ B9J) Иногда бывает удобно пользоваться цилиндрическими коор- динатами в пространстве скоростей. Тогда , / т \3/2 Г т(у1+ю1)Л 1 1 1 /ол оч v = \^г) 6ХР[ 2Г \vrdvrdvzd<p, B9.8) где ^ — компонента скорости по оси z, ^ — перпендикулярная к оси z компонента скорости, а (р — угол, определяющий направле- ние последней. Вычислим среднее значение кинетической энергии атома. Согласно определению средних значений и пользуясь B9.5), на- ходим для любой декартовой компоненты скорости2) ) Распределение Максвелла справедливо, очевидно, и для так называемо- го броуновского движения взвешенных в жидкости частиц. 2) Приведем для справок значения часто встречающихся при применениях распределения Максвелла интегралов вида оо 1п= [ eax\ndx. о Подстановка ах2 = у дает оо з~уу 2 dy = —а ~ 2 110 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ГЛ. III Поэтому среднее значение кинетической энергии атома равно ЗТ/2. Можно, следовательно, сказать, что средняя кинетическая энергия всех частиц тела в классической статистике всегда рав- на 37VT/2, где N — полное число частиц.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение Максвелла» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
