Статистическое распределение в квантовой статистике
В квантовой механике можно доказать теорему, аналогичную теореме Лиувилля, полученной в § 3 на основании классической механики. Для этого выведем предварительно общее квантовомехани- ческое уравнение, определяющее производную по времени от статистической матрицы любой (замкнутой) системы*) . Следуя методу, примененному в предыдущем параграфе, предположим сначала, что система находится в чистом состоянии с волновой функцией, представленной в виде ряда E.1). Ввиду замкнутости системы, ее волновая функция будет иметь такой же вид и во все последующие моменты времени, причем только коэффици- енты сп будут теперь функциями времени, пропорциональными множителям ex.p(—iEnt/fi). Поэтому имеем (d/dt)c*ncm = (i/H)(En - Ет)с*пст. Переход к статистической матрице в общем случае смешан- ных состояний производится теперь путем замены произведений с*пст на wmn. Таким образом, получаем искомое уравнение йтп = (г/К)(Еп - Em)wmn. F.1) Это уравнение можно переписать в общем операторном виде, заметив, что (Еп - Em)wmn = функции оо iw(q,p) = / p[q+,q— irfpiq+irfpiq— ) d?, E.10a) — oo где ? обозначает совокупность вспомогательных переменных ?i,..., ?s, a d^ = d^i ... d^s (E. Wigner, 1932). Действительно, поскольку К интеграл J Iwdp = p(q,q'). Интеграл же J Iwdq после замены перемен- ных q + ?/2 -4- g, q — ?/2 —»¦ q совпадает с интегралом J / dq. В отличие от I(q,p), функция Iw(q,p) вещественна (в чем легко убедиться с учетом эрмитовости матрицы p(q,qf), но, вообще говоря, не везде положительна. 1) В предыдущем параграфе мы говорили о матрице плотности подсисте- мы, имея в виду ее основные статистические применения. Разумеется, мат- рицей плотности может описываться и замкнутая система, находящаяся в смешанном состоянии. 38 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I где Нтп — элементы матрицы гамильтониана Н системы, диа- гональной в принятом нами энергетическом представлении. По- этому й = 1-{Ш -Hw). F.2) (Обратим внимание на то, что это выражение отличается знаком от обычного квантовомеханического выражения для оператора производной от величины по времени.) Мы видим, что для обращения в нуль производной по време- ни от статистической матрицы, оператор w должен быть комму- тативен с гамильтонианом системы. Этот результат и представ- ляет собой квантовомеханический аналог теоремы Лиувилля: в классической механике требование стационарности функции распределения приводит к тому, что w оказывается интегралом движения; коммутативность же оператора какой-либо величи- ны с гамильтонианом как раз и является квантовомеханическим выражением сохраняемости этой величины. В интересующем нас энергетическом представлении условие стационарности формулируется в особенности просто: как вид- но из F.1), матрица wmn должна быть диагональной, — опять- таки в соответствии с обычным матричным выражением кван- товомеханической сохраняемости величины (матрица сохраняю- щейся величины приводится к диагональному виду одновре- менно с гамильтонианом). Подобно тому как это было сделано в § 3, мы можем те- перь применить полученные результаты к квазизамкнутым под- системам, рассматривая промежутки времени, в течение кото- рых они ведут себя с достаточной точностью как замкнутые. Поскольку статистические распределения (здесь — статистиче- ские матрицы) подсистем должны быть по самому определе- нию статистического равновесия стационарными, то мы, пре- жде всего, заключаем, что матрицы wmn всех подсистем диа- гональныг) . Задача об определении статистического распре- деления сводится, следовательно, к вычислению вероятностей wn = wnni которые и представляют собой «функцию распре- деления» в квантовой статистике. Формула E.4) для среднего значения какой-либо величины / упрощается и гласит: nfnn; F.3) 1) Поскольку это утверждение связано в известном смысле с пренебреже- нием взаимодействиями подсистем друг с другом, то точнее можно сказать, что недиагональные элементы wmn стремятся к нулю по мере уменьшения относительной роли этих взаимодействий, а следовательно, по мере увели- чения числа частиц в подсистемах. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ 39 в нее входят теперь только диагональные матричные элемен- ты fnn. Далее, учитывая, что w должно быть квантовомеханическим интегралом движения и используя квазинезависимость подси- стем, аналогично выводу формулы D.5) найдем, что логарифм функции распределения подсистем должен иметь вид F.4) (индекс а отличает различные подсистемы). Таким образом, ве- роятности wn могут быть выражены в виде функции только от величины уровня энергии: wn = w(En). Наконец, полностью сохраняют свою силу все изложенные в § 4 соображения о роли аддитивных интегралов движения, в особенности энергии, как определяющих все статистические свойства замкнутой системы. Это снова дает возможность со- ставить для замкнутой системы простую функцию распределе- ния, пригодную для описания ее статистических свойств, хотя отнюдь и не являющуюся (как и в классическом случае) истин- ной функцией распределения. Для математической формулировки этого «квантового ми- кроканонического распределения» надо применить следующий прием. Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра макроскопических тел, введем понятие о числе кван- товых состояний замкнутой системы, «приходящихся» на опре- деленный бесконечно малый интервал значений ее энергии*) . Обозначим это число через dT; оно играет здесь роль, анало- гичную роли элемента фазового объема dp dq в классическом случае. Если рассматривать замкнутую систему как состоящую из подсистем, пренебрегая при этом взаимодействием последних, то каждое состояние системы в целом можно характеризовать за- данием состояний всех отдельных подсистем, и число dT пред- ставится в виде произведения dT = Y[dTa F.5) а чисел dTa квантовых состояний подсистем (таких, чтобы сум- ма энергий всех подсистем лежала как раз в рассматриваемом инервале значений энергии всей замкнутой системы). Мы можем теперь сформулировать микроканоническое рас- пределение в виде, аналогичном классическому выражению Напомним, что мы условились (§4) полностью исключать из рассмо- трения импульс и момент системы как целого, для чего достаточно пред- ставлять себе систему заключенной в твердый «ящик», рассматриваемый в системе координат, в которой он покоится. 40 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I D.6), написав для вероятности dw нахождения системы в каком- либо из dT состояний следующее выражение: dw = const • S(E - Eq) TT dTa. F.6)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Статистическое распределение в квантовой статистике» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Напомним, что мы условились (§4) полностью исключать из рассмо- 