Напомним (см. IX, § 4), что характер распространяющихся в ферми-жидкости волн существенно зависит от величины произ- ведения а;т, где т — время свободного пробега. При иот <^ 1 мы имеем дело с обычными гидродинамически- ми звуковыми волнами. Частотную и температурную зависимо- сти коэффициента 7 их поглощения (на единице пути) можно См. Brooker G.A., Sykes J. // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. P. 179. 2) Результаты этого параграфа принадлежат Л.Д. Ландау A957). 13 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 386 КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ найти по известной формуле 7 ~ ^2г//(р^3M гДе V ~ коэффици- ент вязкости, р — плотность жидкости, и — скорость звука (см. VI, § 77). Поскольку в ферми-жидкости г]ОоТ~2, то 7сх^. G6.1) Более формальным образом этот результат можно получить, за- метив, что поглощение описывается первым по малому парамет- ру поправочным членом в законе дисперсии звука: к = -A+ъашт) G6.2) и (а — постоянная). Мнимая (при вещественной частоте) часть этого выражения и дает 75 поскольку тсоТ~2, мы возвращаемся к G6.1). При иот ~ 1 поглощение становится очень сильным, так что распространение звуковых волн невозможно. При иот ^> 1 снова становится возможным распространение слабо затухающих волн — так называемый нулевой звук. Его поглощение описывается поправочным членом в законе диспер- сии — на этот раз по малому параметру 1/(шт): ( G63) Uq \ LOT/ (uq — скорость распространения нулевого звука). Коэффици- ент этого поглощения, следовательно, пропорционален частоте столкновений: 7 ^ 1/т. Последняя в свою очередь пропорци- ональна квадрату ширины области размытости распределения квазичастиц. При Нио ^C T эта ширина определяется температу- рой, так что 1/тсоТ2 и коэффициент поглощения j = aT2, Т»Йо;»-. G6.4) т Если же fvuj ^> Т (но в то же время fvuj <^ ер как обязательное условие применимости всей теории), то распределение размыто в области шириной ~ tvuj. В этом случае поглощение нулевого звука 7 = boo2, Ни; > Т. G6.5) К этому случаю относится, в частности, нулевой звук всех ча- стот при Т = 0. Ниже будет показано, что постоянные а и b в формулах G6.4), G6.5) связаны между собой. Разница в характере поглощения обычного и нулевого звуков связана с различием их физической природы. В волне обычного звука в каждом малом (по сравнению с длиной волны) элементе объема распределение квазичастиц, в первом приближении, от- вечает равновесию при заданных локальных температуре и ско- рости жидкости. В этом приближении диссипация отсутствует § 76 ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ 387 и поглощение звука появляется лишь при учете влияния гради- ентов температуры и скорости на распределение квазичастиц. В волне же нулевого звука уже сами по себе колебания вызыва- ют неравновесность функции распределения в каждом элементе объема и учет столкновений квазичастиц приводит к поглоще- нию звука. Согласно основным представлениям теории нормальной ферми-жидкости, квазичастицу в ней можно рассматривать, в известном смысле, как частицу, находящуюся в самосогласован- ном поле окружающих частиц. В волне нулевого звука это поле периодично во времени и в пространстве. Согласно общим пра- вилам квантовой механики, столкновение двух квазичастиц в та- ком поле сопровождается изменением их суммарных энергий и импульса соответственно на Ни и на fik] можно сказать, что при столкновении происходит испускание или поглощение «кванта нулевого звука» 1). Суммарный эффект таких столкновений при- водит к убыванию общего числа звуковых квантов; коэффициент поглощения звука пропорционален скорости этого убывания. При таком подходе к вопросу коэффициент поглощения ну- левого звука дается выражением вида 7 = / T^{nin2(l — п/1)A — п2) — щп^! — ni)(l — п2)} х + Р2 - Pi - Р2 - Щ X ч/ d3Pl d3p2 d3p[ d3p'2 (^ааЛ В подынтегральном выражении выписаны в явном виде 8- функции, обеспечивающие выполнение законов сохранения энер- гии и импульса при столкновениях. Первый член в фигурных скобках отвечает столкновениям pi, р2 —> р'1? р2 с поглоще- нием кванта, а второй член — столкновениям р'1? р2 —>> pi, p2 с испусканием кванта. Функция W, связанная с вероятностью «радиационных» столкновений, определяется свойствами волны нулевого звука; саму эту волну можно рассматривать как рас- пространяющуюся при Т = 0 (см. IX, § 4), и тогда W не зависит от температуры2). В знании функции W, однако, нет необходимости, если по- ставить себе целью лишь выражение коэффициента поглощения через его значение в предельном случае Нш <С Т. Для этого заме- *) Испускание же (или поглощение) «кванта нулевого звука» одной квази- частицей невозможно, поскольку скорость нулевого звука превышает фер- миевскую скорость vf- 2) Подчеркнем во избежание недоразумений, что функция W не совпадает с функцией w в интеграле столкновений G4.5). 13* 388 КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ тим, что в интеграле G6.6) существенны значения энергий ква- зичастиц лишь в области размытости распределения Ферми. В этой области сильно меняются в подынтегральном выражении лишь те множители, которые содержат функции п{е). Кроме то- го, следует учесть, что угловые интегралы в G6.6) практически не меняются при переходе от области Нш <Тк области Нш ^> Т. Ввиду этого будет достаточно вычислить интеграл J = / {щп2A — щ)A — п2) — щп^! — ni)(l — п2)} х х 5(е[ + 4 -61-62- М dei de2 de'x de'2, G6.7) взятый только по энергиям. Коэффициент же пропорционально- сти между 7 и J зависит лишь от о;, но не от Т, так что его можно будет определить по предельному значению 7 ПРИ hu/T <^ 1. В интеграле G6.7) можно, конечно, пренебречь малым иска- жением функции распределения в волне, т. е. положить Введя обозначения е — получим оо _ ji3 Г ~ J 7 _ ji3 Г A - e~^)S(x[ + х'2 - Ж1 - ж2 - g) dxi dx2 dx'i dx'2 Ввиду быстрой сходимости интеграла область интегрирования может быть распространена от — оо до оо. Для проведения интегрирования переходим к переменным у\, У2-) и\-) и2) гДе У — х — xf, и = ех. Интегрирование по щ и и2 производится элементарно и дает оо оо S(yi +У2+О dm du2 dyi dy2 _ -оо О oo dyz _ A- — oo oo § 77 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ 389 Для вычисления получившейся разности двух расходящихся ин- тегралов вводим предварительно конечный нижний предел —Л и пишем ОО ОО _ Г y(? + y)dy _ f J ev-1 J еу — 1 оо —Л /р — / еУ-1 J еу — 1 -Л -Л+? Имея в виду перейти к пределу Л —>> оо, во втором из стоящих здесь интегралов пренебрегаем еу в знаменателе. Первый же пе- реписываем следующим образом: оо оо О /ydy _ f ydy f ydy _ еУ-l J еУ-l J еУ-1 -Л О -Л О Л тг2 . / / у \ 7 тг2 . / ydy . Л2 = — + / ( — У) dy = — + / у у + —. 6 J \1-е-У У) У 6 J еУ-1 2 -Л О Произведя сокращения и переходя после этого к пределу Л —>> оо, получим окончательно Коэффициент пропорциональности между j и J определяет- ся, как уже указано, требованием, чтобы при ? ^С 1 было 7 — &Т2 из G6.4). Таким образом, находим В частности, в пределе больших частот, Нш ^> Т, отсюда полу- чается 7 = _^_(^)^ G6.9) чем и устанавливается связь между коэффициентами в G6.4) и G6.5).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поглощение звука в ферми-жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
См. Brooker G.A., Sykes J. // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. P. 179. 