Температурные зависимости коэффициентов вязкости и теп- лопроводности ферми-жидкости могут быть установлены уже из простых качественных соображений (И.Я. Померанчук, 1950). Согласно элементарной газокинетической формуле (8.11), ко- эффициент вязкости r\ ~ mNvl, где m — масса частиц, N — плотность их числа, v — средняя тепловая скорость, / — длина свободного пробега. В данном случае роль частиц играют квази- частицы, но, поскольку числа тех и других совпадают, произведе- ние mN есть независящая от температуры величина — плотность жидкости1). Скорость v ~ vpj где vp — независящая от темпе- ратуры скорость на ферми-поверхности. Длина пробега / ~ vpr, где т — время между столкновениями квазичастиц. Последнее меняется с температурой как Т~2 (см. IX, § 1), так что и вяз- кость G5.1) ) Поскольку мы ищем предельный закон зависимости т](Т) при низких температурах, то для всех величин, стремящихся при Т —»¦ 0 к конечному пределу, подразумевается, конечно, именно этот предел. 384 КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ Коэффициент теплопроводности оценивается по формуле G.10): ус ~ cNvl, где с — теплоемкость (отнесенная к одной ча- стице). Для ферми-жидкости сооТ, и потому H(X)T~\ G5.2) Для точного определения т\ и ус надо обратиться к кинетиче- скому уравнению. Наметим, на примере теплопроводности, ход соответствующих вычислений. Преобразование левой части кинетического уравнения G4.4) производится аналогично тому, как это было сделано в § 7 для задачи о теплопроводности классического газа. Пусть вдоль жидкости существует градиент температуры, причем жидкость макроскопически неподвижна. В силу послед- него условия, давление постоянно вдоль жидкости, а распределе- ние температуры стационарно. В левой части уравнения G4.4) в качестве п и е подставляем их локально-равновесные выражения с меняющейся вдоль жидкости температурой. Тогда де/дг = 0 и остается лишь член лгдщ/дт (индекс 0 у е и v опускаем). Функ- ция п содержит лишь комбинацию (s — li)/T, а поскольку мы ищем лишь предельные (при Т —>> 0) законы, то химический по- тенциал /i(T) можно положить равным его значению при Т = 0 (совпадающему с граничной энергией ер). Тогда дг дТ v 7 Т Т и кинетическое уравнение принимает вид с /(<р) из G4.24). На решение этого уравнения должно быть на- ложено дополнительное условие, выражающее отсутствие макро- скопического переноса массы: дп1_^Р_ =0 /754ч ^ де Bтг/гK V У В силу этого условия, в потоке энергии G4.23) остается лишь второй член. Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, система уравнений G5.3)-G5.5) не содержит явно функции взаимодей- ствия квазичастиц, так что задача о теплопроводности ферми- жидкости (и то же самое относится к задаче о вязкости) по фор- ме совпадает с такой же задачей для ферми-газа. Определяющую роль во всех интегралах играет область раз- мытости распределения Ферми, в которой е — /j, ~ T, а импульсы § 76 ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ 385 квазичастиц близки к радиусу ферми-сферы рр] в этой области е — \i = vp(p — pp). Во всех местах, где импульсы фигурируют не в виде разности р—рр^ можно положить р = рр, а скорость мож- но положить везде равной vp. В частности, это можно сделать в w, которая становится в результате функцией только от углов, определяющих относительную ориентацию векторов р, pi, p7, Рр При заданных р и pi закон сохранения импульса фиксирует угол между векторами р7 и pj = р + pi — р7; интегрирование по этому углу устраняет E-функцию в интеграле столкновений. После этого остаются интегрирования по абсолютным величи- нам р\ и р1 (помимо интегрирований по остальным угловым пе- ременным). Интегрирование по ним заменяем интегрированием по Т2 du\ du', где и = (е — \i)jT = vp(p — Pf)/T — переменные, от которых зависят функции распределения щ; ввиду быстрой сходимости эти интегрирования можно распространить от — оо до оо. В результате найдем, что весь интеграл 1(ср) пропорцио- нален Т, а решение уравнения G5.3) будет иметь вид if = -T-2g(u)vVT. После подстановки этой функции в G4.23) и интегрирования по направлениям v тепловой поток примет вид q = — xVT, причем оо _ 8ttvfP2f зт / ди du. — оо 1-1 Отсюда снова видно, что нсоТ Указанные выше упрощения интеграла столкновений оказы- ваются достаточными для того, чтобы точно решить кинетиче- ское уравнение (и то же самое относится к задаче о вязкости). В результате для коэффициентов ус и г/ получаются формулы, вы- ражающие их через параметры рр и vp и через определенным образом усредненную по направлениям функцию w1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплопроводность и вязкость ферми-жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
