В обратном случае коротких длин волн, // ^> 1, процесс за- тухания звуковой волны можно рассматривать как результат по- глощения одиночных квантов звука при их столкновениях с теп- ловыми фононами (Л.Д. Ландау, Ю.Б. Румер, 1937). Допусти- мость такого подхода требует, чтобы энергия и импульс тепло- вых фононов были определены достаточно точно: при изменении в результате поглощения звукового кванта они должны попасть в область вне квантовой неопределенности, связанной с конеч- ностью длины пробега; это условие обеспечивается неравенством // 3> 1. Фактически такая ситуация может осуществляться лишь при низких температурах, когда длина пробега становится доста- точно большой. В первом приближении, т. е. при учете процессов с участием наименьшего числа фононов, речь идет о трехфононных процес- сах: ki+f = k2, 001+00 = 002, G3.1) где о;, f — энергия и квазиимпульс звукового кванта, a wi, ki и 6^2, k2 относятся к тепловым фононам. Энергии и квазиим- пульсы тепловых фононов cji, 002 ~ Т\ fci, k>2 ~ Т/и. Мы будем предполагать в дальнейшем, что Нои < Т. G3.2) Тогда Со>1, Со>2 и &i, &2 будут велики по сравнению с оо и /. Как мы видели в § 68, законы сохранения G3.1) могут быть выполнены лишь, если скорость теплового фонона превышает скорость поглощаемых (или испускаемых) звуковых квантов. Не вдаваясь в обсуждение различных возможных случаев, будем считать, что звуковая волна не является «продольной» (т. е. не отвечает акустической ветви фононного спектра с наибольшей скоростью), так что указанное условие может быть выполнено. Ввиду малости оо и /, начальный и конечный тепловые фононы относятся, вообще говоря, к одной и той же акустической вет- ви фононного спектра; при низких температурах они являются длинноволновыми. 374 диэлектрики гл. vn Вероятности испускания или поглощения фонона в трехфо- нонном процессе даются формулами F6.9) или F6.11). При этом числа заполнения Ni = -/V(ki) и N2 = N(k2) даются равновес- ной функцией распределения Планка F7.9). Макроскопическая же звуковая волна соответствует очень большому числу заполне- ния заданного фононного состояния f; по сравнению с этим чис- лом единицей можно, конечно, пренебречь. Опустив множитель 7V(f), мы получим вероятность, отнесенную к одному звуковому кванту. Таким образом, вероятность поглощения звукового кванта при его столкновениях с тепловыми фононами со всеми возмож- ными значениями ki дается интегралом Ak1k2fN1(N2 + 1)S(go! + ш - со2)^-. G3.3) Вероятность же обратного процесса испускания фонона / все- возможными фононами к2 есть Akik2fN2(Ni + l)S(u)i +00- оо2)^^. G3.4) 7B7ГK Фигурирующая в формулах F6.9), F6.11) функция w написа- на, согласно F6.14), в виде Ak\k2f с учетом того, что все три фонона — длинноволновые (А — функция направлений всех фо- нонов). Поглощение фононов (относительная скорость убывания их числа) определяется разностью этих двух вероятностей. По- скольку частота со мала по сравнению с ио\ и oo2i то = т-м2 = -^ш. Таким образом, коэффициент поглощения Акгк2 G3.5) Нас интересует зависимость этой величины от частоты зву- ка о; и от температуры кристалла Т. Она всецело определяется тем фактом, что все фигурирующие в G3.5) частоты — линей- ные функции волновых векторов. Для упрощения рассуждений достаточно считать, что ио = [//, ио\ = ик\, ио2 = uk2l где U и и — независящие от направления скорости. Ввиду малости / можно положить к\ ~ к2. По той ж:е причине duj\ п г п и п ио2 — ио\ « 1 = ит cos и = ио— cos с/, ^ki U § 73 ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА. КОРОТКИЕ ВОЛНЫ 375 где в — угол между f и к. Тогда имеем 5(ио\ + ио — 00%) = —S [1 — — cos в) ио \ U J и интеграл G3.5) принимает вид 7 сош [ Ак\ — S (l - - cos в) kfdki dcos в, G3.6) J duo V U J или, после устранения E-функции, 4 dN 700 а; dki dk\. Поскольку N\ — функция только от отношения ио\/Т = ик\/Т (ввиду быстрой сходимости интегрирование по к\ можно рас- пространить до оо), оставшийся интеграл пропорционален Т4. Таким образом, 7с^о;Т4. G3.7) Отметим, что коэффициент поглощения звука оказывается здесь пропорциональным первой степени частоты. Отметим также, что при принятом выше условии G3.2) рас- смотренный механизм затухания звука вполне аналогичен зату- ханию Ландау в плазме. Роль «резонансных электронов» в дан- ном случае играют фононы, движущиеся в фазе со звуковой волной. Естественно поэтому сходство между G3.6) и формулой C0.1) затухания Ландау.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поглощение звука в диэлектрике. Короткие волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
