Приближенное сохранение квазиимпульса при условии мало- сти длины пробега /дг для нормальных столкновений по сравне- нию с длиной пробега 1ц для процессов переброса, < 1, G1.1) делает систему фононов в кристалле при низких температурах во многих отношениях подобной обычному газу. Нормальные столк- новения устанавливают внутреннее равновесие в каждом элемен- те объема газа (большом по сравнению с /дг), который может при этом двигаться с произвольной скоростью V. Если скорость V и температура Т заметно меняются лишь на расстояниях, больших по сравнению с /дг (и за времена, большие по сравнению с 1/^дг), то для них можно получить систему «гидродинамических» урав- нений. Построим их в линейном приближении по скорости V и § 71 ГИДРОДИНАМИКА ФОНОННОГО ГАЗА 365 градиенту температуры, которые будем считать малыми величи- нами одинакового порядка. Кроме того, для упрощения записи формул будем снова (как и в § 69) считать, что кристалл имеет кубическую симметрию. Одно из искомых уравнений выражает собой закон сохра- нения энергии. Оно получается подстановкой в F7.3), F7.4) функции распределения F9.2). Интегралы от ш(к\')дЩ/дш и от cjuNq обращаются в нуль при интегрировании по направле- ниям к (ср. примеч. на с. 353). Функция Nq(oo) зависит от коор- динат и времени только через посредство Т. Пренебрегая членом с произведением VVT, получим ? + /3iTdivV O, G1.2) ot где /Зз = д-§, G1.3) Eq — равновесная плотность энергии, a f3\ определено в F9.8). Другое уравнение выражает собой сохранение (приближен- ное) квазиимпульса. Оно получается из кинетического уравне- ния — + uVTV = StNN + Sttf N G1.4) Ot подстановкой в него N в виде F9.2), умножением на к, интегри- рованием по $ к и суммированием по сортам фононов. Интеграл от к St дг N обращается в нуль в силу сохранения квазиимпульса при нормальных столкновениях. В результате получим ^ + ft VT = -vufoTY G1.5) ot с @2 и vjj из F9.8). Уравнения G1.2) и G1.5) и составляют иско- мую систему гидродинамических уравнений для фононного газа в диэлектрике. Экспоненциально малый (вместе с v\j) член в правой части уравнения G1.5) представляет влияние процессов переброса. В пренебрежении этим членом квазиимпульс сохраняется строго. В таких условиях в фононном газе могут распространяться незату- хающие волны, аналогичные волнам второго звука в сверхтеку- чей жидкости (В.П. Пешков, 1946). Действительно, исключив V из G1.2) и G1.5), получим тогда ^1 JL G1.6) т. е. волновое уравнение, описывающее распространение колеба- 366 ДИЭЛЕКТРИКИ ний температуры со скоростью 1/2 Как уже отмечалось, вклады в интегралы /?i, /?2, Рз при низ- ких температурах возникают в основном только от акустических ветвей спектра. Для линейных законов дисперсии c<j(k) интегра- лы пропорциональны Г3; при этом скорость G1.7) не зависит от температуры и имеет порядок величины скорости звука 1). До сих пор мы подразумевали, что размеры кристалла неограничены. При низких температурах, когда длина пробега фононов быстро растет, может стать реальной ситуация, когда длина пробега становится сравнимой или даже большой по срав- нению с размерами кристалла L. Это относится в первую очередь к экспоненциально возрастающей длине Ijj. Рассмотрим теплопередачу в диэлектрике в условиях, когда Ijj ^> L (это условие будет уточнено ниже), но в то же время еще In <^i L\ последнее условие позволяет пользоваться уравнения- ми фононной гидродинамики (J.A. Sussmann, A. Thellung, 1963; Р.Н. Гуржи, 1964). Благодаря микроскопическим неоднородностям поверхности кристалла, отражение фононов от нее происходит обычно беспо- рядочным образом (как говорят, диффузно)\ это значит, что ма- кроскопическая скорость фононного газа V обращается на гра- нице в нуль. Но уравнения G1.2), G1.5) не допускают такого граничного условия; их решениями можно удовлетворить лишь условию обращения в нуль нормальной к поверхности компонен- ты скорости. Как и в гидродинамике обычных жидкостей, гра- ничное условие исчезновения тангенциальной компоненты ско- рости требует учета вязкости жидкости. В стационарном случае из уравнения G1.2) имеем div V = 0. Учет вязкости приводит к появлению в правой части уравнения G1.5) члена с AV, подобного аналогичному члену в уравнении Навье-Стокса гидродинамики обычной вязкой жидкости. В стационарном случае это уравнение принимает вид ;Vr /iAVi^V. G1.8) Величина \i имеет размерность см2/с и играет роль кинематиче- ) В изотропной жидкости с фононным энергетическим спектром (сверх- текучий гелий при низких температурах) имеется всего одна акустическая ветвь, в которой ш = ик. При этом /З1//З2 = и2, /З1//З3 = 1/3 и скорость второго звука и^ = § 71 ГИДРОДИНАМИКА ФОНОННОГО ГАЗА 367 ской вязкости фононного газа1). Ее вычисление требует в прин- ципе решения соответствующего кинетического уравнения. Для оценки же по порядку величины можно воспользоваться обыч- ной газокинетической формулой, согласно которой H~lNv~ —. G1.9) Размерные эффекты играют преобладающую роль, когда в уравнении G1.8) можно пренебречь членом v\jV по сравнению с //AV. Пусть, например, речь идет о теплопередаче вдоль цилин- дрического стержня с толщиной R. Последняя определяет харак- терную длину для изменения скорости V, так что AV ~ V/i?2. Мы видим, что членом vjj\T можно пренебречь, если \ijFt? ^> vjj. С оценкой G1.9) это условие записывается как Ijj ^> /эф, где /эф - у- G1.10) In играет роль эффективной длины пробега фононов в ограничен- ном теле. Напротив, при /эф ^ Ijj размеры тела несущественны и справедлив закон F9.14). Процесс теплопередачи вдоль стержня при Ijj ^ /эф при- нимает характер пуазейлевского течения вязкого фононного газа. Его можно характеризовать эффективным коэффициен- том теплопроводности, определяющим плотность потока энер- гии как — хэф\7Г, где VT — градиент температуры вдоль стерж- ня. Этот поток можно оценить, подставив G1.10) в выражение <^эф ~ Си1эф. При низких температурах теплоемкость решетки С ~ Г3. Длина же In ~ u/vn ~ Т~ъ (согласно F9.15)). Поэтому эффективная теплопроводность хэф~Д2Т8 при ^!</^<Д; G1.11) 1и она убывает с понижением температуры. Наконец, при еще более низких температурах, когда уже и длина In ^> Л, столкновения фононов друг с другом становят- ся вообще несущественными (подобно кнудсеновской ситуации в сильно разреженных обычных газах). Роль длины пробега пере- ходит тогда к размерам тела R и эффективная теплопроводность хэф - CuR - Г3R G1.12) (H.B.G. Casimir, 1938).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гидродинамика фононного газа в диэлектрике» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
