До сих пор мы рассматривали задачи об устойчивости, в которых речь шла о развитии во времени возмущения, задан- ного в пространстве в некоторый начальный момент. Фурье- разложение такого возмущения содержит компоненты с веще- ственными значениями волновых векторов к, а их временная зависимость определяется частотами о; (к) — комплексными кор- нями дисперсионного уравнения. Возможна, однако, и другая постановка задачи об устойчиво- сти: задача, в которой речь идет о возмущении, создаваемом в некотором участке пространства по заданному временному зако- ну. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными частотами о;, а их распространение в простран- стве определяется волновыми векторами А:(о;), получающимися решением дисперсионного уравнения — на этот раз относительно к] соответственно комплексными оказываются не частоты, а вол- новые векторы (как и в предыдущем параграфе, мы имеем в виду одномерную задачу и потому пишем к = кх вместо вектора к). Комплексность волновых векторов может иметь различный смысл. В одних случаях она может означать просто, что соответ- ствующие волны не могут распространяться в среде (непропуска- ние). В других случаях комплексность к может означать усиле- ние волн средой при их распространении от источника. Сразу же подчеркнем, что критерием различения этих двух возможностей заведомо не может являться знак ImA;: волны могут распростра- 332 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ няться в обоих направлениях оси ж, а изменение направления распространения эквивалентно изменению знака к. Физически очевидно, что усиливающими свойствами может обладать лишь неустойчивая среда. Поэтому, например, заранее ясно, что для поперечных электромагнитных волн в плазме с законом дисперсии ио2 = О^ + с2к2 (см. задачу 1 § 32) при ча- стотах ио < Ое (когда к(ио) мнимо) имеет место непропускание; действительно, определяемая этим уравнением функция со (к) ве- щественна при всех вещественных значениях /с, так что система заведомо устойчива. Для точной постановки вопроса рассмотрим точечный по ко- ординате х источник (или, как говорят, сигнал), включаемый в момент t = 0 и создающий затем монохроматическое (с неко- торой частотой ljq) возмущение ф (отклик системы на сигнал). Интенсивность источника есть, таким образом, g(t,x)=0 при ?<0, ( , g(t,x) = const • S(x)e-luJot при t > 0. [ } Не конкретизируя физической природы возмущения ф, мы не делаем того же и в отношении физической природы интен- сивности источника g. Существенно лишь, что ^-компоненты возмущения определяются по его источнику выражением вида ФшН = -^7Т- F3.2) A(cj k) Такое выражение получается из неоднородного линеаризованно- го «уравнения движения» системы, в котором g(t, x) играет роль «правой части» (аналогично тому, как F2.4) было решением од- нородного уравнения с начальным условием, задаваемым функ- цией g@,x)). Для источника F3.1) имеем1) - F3-3) Функция ф^,х) находится затем по формуле обращения оо+гсг i/>(t, х) = const / Ф(ш,х) е~ШЬ —, F3.4) J i(u — cjo) 2тг — оо+гсг сю Ф(а;,ж)= / -^-dk. F3.5) При вычислении g^ надо помнить, что в формуле обратного преоб- разования интегрирование происходит по контуру, на котором Imcj > 0; поэтому eliJjt —>- 0 при t —»¦ оо. § 63 УСИЛЕНИЕ И НЕПРОПУСКАНИЕ 333 Это выражение автоматически обеспечивает равенство ф{Ь, х) = О при t < 0 в соответствии с условиями задачи: возмущение воз- никает только от включаемого в момент t = 0 источника. Задача состоит теперь в том, чтобы найти асимптотическое выражение ф(г,х) вдали от источника (|ж| —>• оо) в установив- шемся режиме, т. е. по истечении большого времени после вклю- чения источника (t —>• оо). Если в таком режиме возмущение стремится к нулю при х —>• =Ьоо, то мы имеем дело с непро- пусканием. Если же возмущение оказывается возрастающим хо- тя бы по одну сторону от источника — имеет место усиление. Очевидно, что в обоих этих случаях может идти речь лишь о конвективно-неустойчивой (или об устойчивой) системе. При аб- солютной неустойчивости возмущение неограниченно растет со временем во всех точках пространства, так что выход на устано- вившийся режим вообще невозможен. Переходя к отысканию требуемой асимптотики, прежде всего отметим, что асимптотический переход t —>> оо надо произвести до перехода |ж| —>> оо: поскольку за конечное время возмущение не может распространиться до бесконечности, то переход |ж| —>• оо при конечном t обратит ф в нуль. Как ив § 62, для получения асимптотического выражения при t —>> оо смещаем путь интегрирования по ш в F3.4) вниз. Аналитические свойства функции Ф(а;,ж) такие же, как и у функции (p(oj)X) в § 62. Поскольку система предполагается лишь конвективно-неустойчивой, то Ф(а;,ж) не имеет особенностей в верхней полуплоскости ио и наиболее высокой особой точкой подынтегрального выражения в F3.4) является полюс ио = ojq на вещественной оси. Поэтому асимптотика при t —>> оо фA;,х)<Х)е-1шогФ(и)о,х). F3.6) Для нахождения асимптотики функции Ф(шо,х) при |ж| —>• оо надо теперь смещать путь интегрирования по к вверх (при х > 0) или вниз (при х < 0) до тех пор, пока он не зацепится за по- люс подынтегрального выражения в F3.5) (корень уравнения A(cjo,*0 =0). Обозначим через fc+(o;) и к-(со) те полюсы, которые при Imo; —)> оо находятся соответственно в верхней и нижней полу- плоскостях к. По мере уменьшения Imo; полюсы перемещаются и при вещественном ио = ojq могут остаться в «своей» полуплос- кости или же попасть в другую полуплоскость. В первом случае путь интегрирования в Ф(шо,х) остается на вещественной оси (как на рис. 22 а), а во втором — деформируется, как показано на рис. 22 5, огибая «убежавшие» в чужую полуплоскость полю- сы fc+(a;o) и к-(и)о) (точки А и С). В обоих случаях при смещении контура вверх или вниз он зацепляется соответственно за полю- 334 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ сы к+ или к-. Асимптотическое выражение функции ip(t,x) при х —>• +оо определяется вкладом от наиболее низкого из полюсов fc+(a;o)j а при х —>> — оо — от наиболее высокого из полюсов А;_ — (^о) 5 другими словами, это — наиболее близкий к вещественной оси полюс (если все полюсы данной категории остались в «сво- ей» полуплоскости) или же наиболее далекий от вещественной оси полюс из числа тех, которые перешли в «чужую» полуплос- кость. С этими значениями А;+ и к- будем иметь ^(*,ж)со exp{ik+(ujo)x-iujot} при х > О, i/j(t,x)oo exp{ik-(wo)x — iwot} при х < 0. В случае устойчивой системы все полюсы остаются при uj = ljq в «своих» полуплоскостях; действительно, ввиду отсутствия вет- вей колебаний с 1тш(к) > 0 (при вещественных к) пересечение полюсом k(uS) вещественной оси могло бы иметь место лишь при Imo; < 0. Поэтому в F3.7) будет 0, Imfc_(a;o) < 0, так что волны затухают в обе стороны от источника. В случае же конвективной неустойчивости полюсы к (со) вы- ходят на вещественную ось уже при Imo; > 0. Поэтому заведомо существуют полюсы А;+ или fc_, попавшие при о; = цв «чужую» полуплоскость, т. е. для которых Im к+(шо) < 0 или Im к- (ujq) > 0. Наличие такого полюса fc+(a;o) приводит к усилению волны спра- ва от источника, а наличие такого полюса к-(и)о) — к усилению слева от источника. Резюмируя изложенные рассуждения, приходим к следую- щему критерию различения случаев непропускания и усиления волн, испускаемых источником с частотой ojq в конвективно- неустойчивой системе. Волна с комплексным значением к(и)о) при вещественном ojq усиливается, если функция 1тк(оо) меняет знак при изменении Imo; от +оо до 0 (при заданном Re о; = cjq); если же 1тк(оо) не меняет знака, то имеет место непропускание. Отметим, что происхождение этого критерия связано с тре- бованиями причинности. Действительно, при сколь угодно бы- стром включении источника возмущение во всяком случае дол- жно убывать при х —>• =Ьоо просто потому, что за конечное время оно не может распространиться на бесконечное расстояние. С другой стороны, «сколь угодно быстрое» включение можно осу- ществить по закону e~lujt clmo; Ч +оо. Поэтому ясно, что вол- ны, усиливаемые (при вещественном ио) в ту или иную сторону от источника, должны затухать в эту же сторону при Imo; —>> оо, откуда и возникает сформулированный выше критерий. § 63 УСИЛЕНИЕ И НЕПРОПУСКАНИЕ 335 Полученные результаты имеют еще и другой аспект, позво- ляя определить направление распространения волны в среде с поглощением или усилением. В прозрачной среде (т. е. когда ио и к вещественны) вопрос о физическом направлении распростране- ния решается направлением вектора групповой скорости. В част- ности, в одномерном случае волна с положительным значением производной duo/dk движется в положительном направлении оси ж, а с отрицательным — в обратном направлении. В среде же с поглощением или усилением можно утверждать, что в поло- жительном направлении распространяются волны группы fc_|_, a в отрицательном — группы к-. В случае вещественных ио и к эта общая формулировка совпадает с прежней. Действительно, малые изменения ио и к связаны друг с другом соотношением duj/dk Отсюда видно, что если у ио появляется мнимая часть Imo; > О, то к смещается в верхнюю полуплоскость при duo/dk > 0 и в нижнюю в обратном случае. В качестве простого примера применения критериев, полу- ченных в этом и предыдущем параграфах, рассмотрим неустой- чивость холодного пучка электронов в холодной плазме, о кото- рой шла речь в § 61. Дисперсионное уравнение этой системы: о2 о'2 ^ + —^ = 1 F3.8) cj2 {uWY V } (см. F1.6); для волн, распространяющихся в направлении пучка, kV = kV). Корни к(ио) этого уравнения при |cj| —^ сю имеют вид 1) к = ^^. F3.9) При Imo; —>• оо оба корня лежат в одной и той же (верхней) по- луплоскости, т. е. оба корня относятся к категории к+(оо). Они не могут, следовательно, при своем перемещении (при уменьшении Imo;) зажать fc-контур, так что неустойчивость — конвективная. Асимптотическое поведение созданного в начальный момент воз- мущения определяется частотой ио = Ое, вблизи которой корни уравнения F3.8) стремятся к оо по закону к2 = —^^—. F3.10) Таким образом, при t —>> оо от возмущения остаются лишь неза- тухающие плазменные волны. г) Отметим, что F3.9) совпадает с дисперсионным уравнением пучка са- мого по себе, как если бы неподвижной плазмы вообще не было. 336 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ При вещественных значениях ио < 0е уравнение F3.8) имеет два комплексно-сопряженных корня к(ио). Тот из них, у кото- рого Imk(oj) < О, попал в нижнюю полуплоскость из верхней. Таким образом, при распространении волн от источника с ча- стотой ljq < Ое происходит их усиление в направлении х > О, т. е. «вниз по течению» пучка.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Усиление и непропускание» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
При вычислении g^ надо помнить, что в формуле обратного преоб- 