Теория флуктуации в плазме строится в принципе так же, как и в обычном газе (§ 19, 20). Разновременные корреляторы, например Efa(ti, Г1, Pl)Sfb(t2, Г2, р2)), (S<p(ti,riMfa(t2, Г2, р2)) (ср — потенциал электрического поля; индексы a, b отличают сор- та частиц), удовлетворяют при t = t\ — ?2 > 0 той же системе уравнений — линеаризованных кинетического уравнения и урав- нения Пуассона, что и функции распределения fa и потенци- ал Тр. Для решения этой системы необходимо знать, в качестве начального условия, соответствующие одновременные корреля- торы. Но в отличие от равновесного газа нейтральных частиц, в плазме имеется одновременная корреляция между положениями различных частиц, связанная с их кулоновским взаимодействием и простирающаяся на большое (~ а) расстояние. В равновесном случае эта корреляция описывается корреляторами плотности, вычисленными в V, § 79. В неравновесных же случаях определе- ние одновременных корреляторов является трудной задачей. Эту трудность, однако, можно преодолеть в общем виде в случае бесстолкновительной плазмы. Заметим, что именно для бесстолкновительной плазмы задача о флуктуациях в стационар- ном неравновесном состоянии ставится в особенности естествен- ным образом, поскольку в такой плазме в отсутствие внешнего поля любые функции распределения /а(р), зависящие только от импульсов частиц, являются стационарным решением кинетиче- ского уравнения. Коррелятор флуктуации относительно такого распределения, как и в равновесном случае, будет зависеть от координат двух точек и от двух моментов времени только через разности г = ri — г2 и t = t\ — t2. Бесстолкновительность плаз- мы означает при этом, что рассматриваются времена ?, малые по сравнению с 1/V, где v — эффективная частота столкнове- ний. Излагаемый ниже метод применим именно в этих условиях; бесстолкновительность используется в нем с самого начала. Он основан на непосредственном усреднении произведений точных § 51 ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ 257 флуктуирующих функций распределения /а(?, г, р) 1). Эти функции удовлетворяют уравнениям *L = Ёк + v^ - еа^Ёк = О, E1.1) dt dt дт дг дР ' У J где <р — точный потенциал электрического поля, удовлетворяю- щий уравнению V E1.2) Уравнения E1.1) выражают собой аналог теоремы Лиувилля. Подчеркнем, что в этих точных уравнениях еще не пренебрежено столкновениями. Точные функции распределения fa(t,г, р) = ?S[r - ra(t)]S\p - Pa(t)] E1.3) (суммирование по всем частицам сорта а) учитывают движение частиц по траекториям г = га(?), являющимся точными решени- ями уравнений движения системы взаимодействующих частиц. Уравнения E1.1) легко проверить прямым дифференцированием выражений E1.3) с учетом уравнений движения частиц в само- согласованном поле. Уравнения E1.1), E1.2) сами по себе довольно бесполезны; пользоваться функциями распределения в виде E1.3) — все рав- но, что следить за каждой частицей в отдельности. Если же усреднить их по физически бесконечно малым объемам2), по- лучатся обычные кинетические уравнения. Положив fa = fa + + Sfa, (f = Tp + S(p и усреднив уравнения (не производя при этом никаких пренебрежений!), получим 9L+V9L_ щби =е/д^д51Л ( 4) dt дг дт дг °\9г аР/' v ' E1.5) Правая часть в E1.4) есть интеграл столкновений3). Вычтя E1.4), E1.5) из точных уравнений E1.1), E1.2), полу- чим уравнения для флуктуирующих частей функций распреде- Этот метод принадлежит Ростокеру (N. Rostoker, 1961) и Ю.Л. Кли- монтовичу и В.П. Силину A962). 2) Или, что то же, по начальным условиям точной механической задачи, отвечающим заданному макроскопическому состоянию. ) Мы еще вернемся к этому выражению в конце параграфа, а пока от- метим лишь, что оно соответствует правой части уравнения A6.7) в случае, когда взаимодействие частиц — кулоновское. 9 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 258 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ ления и потенциала. При этом квадратичные по Scp и Sfa чле- ны в кинетическом уравнении описывают влияние столкнове- ний на флуктуации. Пренебрегая этими членами и рассматривая пространственно-однородный случай, т. е. положив 7а=7а(р), ^=0, E1.6) получим уравнения № + v^-ee^^ = 0, E1.7) dt дг дт dp dV E1.8) а Эти уравнения позволяют выразить функции Sfa(t, r, р) в произвольный момент времени t через их значения в некоторый начальный момент t = 0; тем самым оказывается возможным выразить и коррелятор через его значение при t\ = ?2 = 0. Это начальное значение кор- релятора (обозначим его через ga&(ri — г2,РъР2)) есть в значи- тельной степени (см. ниже) произвольная функция. Сразу же подчеркнем, что оно отнюдь не является тем одновременным коррелятором, нахождение которого (вместе с полным разно- временным коррелятором) составляет нашу цель. Центральный пункт, обеспечивающий эффективность излагаемого метода, со- стоит в том, что при произвольном выборе функции g вычислен- ный таким образом коррелятор E1.9) с течением времени (ti, ?2 порядка времени затухания Ландау) сведется к функции только от разности t = t\ — ?2, не зависящей от выбора g. Тем самым задача будет решена: эта предельная функция и будет искомым разновременным коррелятором, а его значение при t\ — ?2 = 0 — одновременным коррелятором. Переходя к проведению указанной программы, введем ком- поненты разложения Фурье по координатам и одностороннего разложения Фурье по времени: a(t, r, p), E1.10) о и аналогично для ^к . Умножив уравнения E1.7), E1.8) на e-i{kr-ujt) и ИНТегрируя по dt от 0 до оо и по с/3ж, получим »(kv - u)Sf?l - ieak^- 6<р™ = Sfak(O, p), -к2ё<р™ = 47Г ? ea f 8f?l d3p. E1.11) § 51 ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ 259 С подобными уравнениями мы уже неоднократно встречались (ср. C4.10), C4.11)); из них находим 47Г 6a J z(kv- где ?^ ~~ диэлектрическая проницаемость плазмы с распределе- нием /(рI). Перемножение таких двух выражений и статисти- ческое усреднение дают Vt2> х X a,b Среднее значение в числителе подынтегрального выражения связано с фурье-компонентой ?а5к(РьР2) «начального» корре- лятора gab(ri - г2,рьр2) формулой (ср. A9.13)). Как и всякая одновременная корреляционная функ- ция, начальный коррелятор должен содержать E-функционный член, выражающий те случаи, когда всего одна частица находит- ся в совпадающих элементах фазового пространства: 8аь7(рЩг1 - r2M(pi - р2) (см. A9.6)). Фурье-образ этого члена есть 5abf(pM(pi — p2). Та- ким образом, в E1.13) надо полож:ить F fak@,pN fbU @,р')) = = BтгK^(к + k')[SabJa(pM(p - р') + //к(р, р')], E1.14) где /Лк(р,р') есть произвольная гладкая (без особенностей при вещественных р и р7) функция — фурье-образ некоторой функ- ции /i(ri — r2,pi,p2), стремящейся к нулю при |ri — г2| —)> оо. ) Лишь для упрощения записи последующих формул будем считать, что функция f(p) изотропна, так что соответствующий ей тензор диэлектриче- ской проницаемости saf3 сводится к скалярам е\ та. St- 260 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ При подстановке в E1.13) член с этой произвольной функци- ей в E1.14) дает [ J J z(kv - а,Ь Покажем, что это выражение отвечает во временном представ- лении функции, быстро затухающей с увеличением t или t'. Переход от лапласовского (см. примеч. на с. 173) образа (^Lk ^ruo'L.') к ФункЦии времени ?2 и t\ = ?2 +1 осуществляется формулой обращения /» E1.16) где интегрирование производится по путям в плоскостях комп- лексных переменных а; и а/, проходящим выше всех особых то- чек подынтегрального выражения. Нас интересует асимптотика выражения E1.16) при ?1,^2 ~^ оо. Для ее нахождения надо сме- щать контуры интегрирования вниз до тех пор, пока они не «за- цепятся» за особые точки; так, особенность в точке со = сос при- ведет к асимптотической зависимости интеграла по dco от време- ни вида ехр (—icoct). Легко видеть, что выражение E1.15) имеет особенности лишь в нижних полуплоскостях со или со' (но не на вещественных осях этих переменных) и потому асимптотика ин- теграла E1.16) с E1.15) в качестве (Stp^vip^,^,) содержит только затухающие члены. Рассмотрим, например, интеграл по со. Множитель l/si(oo,k) в E1.15) имеет полюсы в нулях функции ?i(oo, к), расположенных лишь в нижней полуплоскости со1). Таким же свойством обла- дает и интеграл по d3p в E1.15). Действительно, этот интеграл имеет вид I z-u/k-iO' где z = рх — проекция вектора р на направление к, причем (согласно предположенным свойствам функции /J>k(p,pf)) мно- житель i/j(z) мог бы иметь особые точки лишь при комплексных значениях z. Интеграл такого вида был уже рассмотрен в кон- це § 29 и было показано, что он может иметь полюсы лишь в нижней полуплоскости со. 1) Подразумевается, что распределение f(p) отвечает устойчивому состоя- нию плазмы, так что плазменные волны затухают. Очевидно, что только в таком случае имеет вообще смысл постановка задачи о стационарных флук- туациях. § 51 ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ 261 Таким образом, интересующая нас незатухающая часть кор- релятора возникает только от вклада от первого члена в E1.14) в интеграл E1.13): С2 [ aJ (cj- fa(p)d3p Преобразуем подынтегральное выражение, написав \+ - 1 . v + zOJ \ Lcj-kv + гО При дальнейшем интегрировании по ио' в E1.16) незатухающий при t —>• оо вклад возникает от вычета в полюсе со' = —со — гО, который обходится контуром интегрирования, как это показано на рис. 14; в этом смысле множитель 1/(ш -\- ио1) надо понимать как — 2iti8(oo + ио'). Смысл же множителей \/{uj ± kv) при по- следующем интегрировании по ио определяется формулой B9.8), согласно которой = — 2тгг6(оо — kv) ио — kv + гО ио — kv — гО (это обозначение подразумевает, что интегрирования по а; и а/ производятся уже по вещественной оси). Таким образом, для вычисления коррелятора в асимптотиче- ском пределе больших времен ?, в интеграле E1.17) надо заме- нить -BnJS(oo + оо'M(оо-клг). E1.18) В результате получим г) (^шЪ^Л) = BvrL5(u; + ч/ЩЪ + k')( V)Wk, E1.19) где 2 ?!? ^' 17 " kv) d"p- EL20) Во избежание недоразумений напомним, что это — не все выражение, а только его особая по uj-\-uj' часть, определяющая асимптотическое поведе- ние коррелятора. В полном выражении отнюдь не все члены содержали бы д(ио + сУ), поскольку соответствующая функция от ti, ti зависит от разности t = t\ — t2 лишь асимптотически, при больших ti, fe- 262 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ ГЛ. IV Из определения E1.19) видно (ср. A9.13)), что величины (<^2)и;к представляют собой искомый фурье-образ корреляци- онный функции — спектральный коррелятор. Таким образом, формула E1.20) решает поставлен- ^у\ ную задачу для флуктуации потен- циала. Аналогичным образом определя- ются и другие корреляторы. Так, вы- разив из E1.11) SfaJw через Sip^,^ умножив на S(p^ из E1.12) и усред- нив, получим коррелятор потенциа- ла и функции распределения 1): e-z-fa(pN(u--kv). kv — из + гО dp v Г /и/л k2?i(u3,i E1.21) Напомним, что порядок, в котором написаны 5<р и 6fa в символе (8<р5/а)шь, существен: по определению (ср. V, A22.11)), E1.21) есть фурье-образ пространственно-временного коррелятора Если же определить коррелятор как (Sfa(t, r)<$<p@, 0)), то будет (ср. V, A22.13)). Наконец, спектральный коррелятор функций распределения (и - kvi)+ (из — kvi + гО)(из — kv2 — гО) 8тт2еае ^Р2 A;2 др2) e;(u3,k)(u3-kv2 - гО) J ' E1.23) ) Обратим внимание па обратное правило обхода в первом члене (и — гО вместо из + гО). Оно возникло из-за того, что при из = — a/, k = —к7 (k'v - сУ - гО) = -(kv - из + гО). § 51 ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ 263 Это — фурье-образ коррелятора Если в формулах E1.20)—E1.23) выбрать в качестве fa макс- велловские функции /оа, получим корреляторы флуктуации в равновесной бесстолкновительной плазме. Рассмотрим, например, флуктуации потенциала. Для макс- велловской плазмы мнимую часть продольной диэлектрической проницаемости можно представить в виде - kv) d"P E1-24) (см. C0.1); обобщение на несколько сортов частиц очевидно). Введя это выражение в E1.20), получим Коррелятор же напряженности продольного электрического по- ля (ЕаЕр)иъ = какрF<р2)иъ. E1.26) Этот результат можно было бы, конечно, получить и из об- щей макроскопической теории равновесных электромагнитных флуктуации, изложенной в IX, § 75-77. Согласно этой теории, спектральный коррелятор напряженности электрического поля выражается через запаздывающую гриновскую функцию фор- мулой, которая в классическом пределе (Нои <С Т) принимает вид ^ Im ?>§,(«, k) E1.27) (см. IX, G6.3), G7.2)). В среде с пространственной дисперсией гриновская функция 1) Подстановка продольной части этой функции (второй член) в E1.27) и даст E1.25), E1.26). Наконец, вернемся к уравнению E1.4) и покажем, что стоя- щее в его правой части выражение ) E1.29) х) Это выражение получается из IX, G5.20), если разделить последнее на поперечную и продольную части и заменить г в этих частях соответственно на et(u,k) и ei(u,k). 264 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ ГЛ. IV действительно совпадает с известным выражением интеграла столкновений в плазме. Величина E1.29) получается из корреля- ционной функции E(p(t, r)<$/a@,0)) дифференцированием по г, после чего надо положить в ней г = 0. Таким образом, найдем E1.30) (в последнем равенстве учтено E1.22)). Но из E1.21) имеем (ис- пользуя также E1.20) и E1.24)) Im («aW = {-7гк|%Лк - f^7a} еа6(ш - kva) = _ _ 32тгеа V- 2 [ Г dfaj _ j djb x 5{uo - kvb) dspb • 5(uj - kva). Подставив это выраж:ение в E1.30), легко приводим E1.29) к виду интеграла столкновений Балеску-Ленарда (§ 47). В связи с приведенным выводом может показаться стран- ным, что для вычисления интеграла столкновений оказалось до- статочным рассматривать флуктуации в бесстолкновительной плазме. Это, однако, связано с тем, что при столкновениях в плазме существенны компоненты Фурье электрического поля с к J> I/a ^> 1//, что и позволяет пренебречь столкновениями. Си- туация здесь вполне аналогична той, которая имела место при выводе кинетического уравнения Больцмана в § 16. Действитель- но, уравнение A6.10) как раз и означает пренебрежение влияни- ем столкновений на парную корреляционную функцию.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Флуктуации в плазме» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Этот метод принадлежит Ростокеру (N. Rostoker, 1961) и Ю.Л. Кли- 