В некоторых случаях учет динамического экранирования ку- лоновского взаимодействия частиц в плазме приводит не только к уточнению аргумента кулоновского логарифма, но и к каче- ственно новым эффектам. Для их изучения представим интеграл столкновений в виде, точно учитывающем вклад от рассеяния на малые углы и лишь с логарифмической точностью — вклад от рассеяния на большие углы. В квазиклассическом случае большие углы рассеяния (% ~ 1) происходят от малых прицельных расстояний: Р^ -!=rL § 47 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧЕРЕЗ ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ 237 Искомый интеграл столкновений имеет вид интеграла Ландау с величинами Вар из D6.15): > _ 2(ее'J [ kakpd «f> ~ |7^| J *4|e(kV, где интегрирование производится по области до —2 \ее'\ В обратном, борновском случае искомая форма интеграла столкновений получается путем разложения подынтегрального выражения в D6.7) по степеням q. В результате снова прихо- дим к интегралу Ландау с величинами Ва^ дающимися той же формулой D7.1) с тем лишь отличием, что теперь ^ D7.3) (значение к = q/H при передаче импульса q ~ /J>v0TB). Напомним снова, что физический смысл обрезания на больших значениях к один и тот же в классическом и борновском случаях — обреза- ние производится на углах рассеяния х ~ lj разная связь меж- ду А; и % в этих случаях приводит, однако, к разным выражениям для /стах. Интеграл столкновений Ландау с величинами Bap из D7.1) называют интегралом Балеску-Ленарда 1). Перепишем D7.1) в более удобном для последующего виде: оо Ва0 = 2(ее'J [ [ 5(и-ку)ё(щ-клг')каке<13Ыш, D7.4) где теперь интегрирование производится по трехмерным (вместо двумерных) векторам к. Две E-функции в подынтегральном вы- ражении обеспечивают равенство kv = kv7, т. е. поперечность к по отношению к v — v7. Интегрирование же по duo заменяет ар- гумент ио в б(о;, к) требуемым значением ио = kv = kv7 = kV. Обратим внимание на то, что множитель \е(ио, к)\~2 в подын- тегральном выражении в D7.4) обращается в бесконечность при тех значениях ио = kV и к, для которых е(оо,к) = 0, т. е. при зна- чениях, отвечающих закону дисперсии продольных плазменных волн. Эти значения к могут внести большой вклад в интеграл столкновений. Физически этот вклад можно описать как резуль- тат взаимодействия между частицами, осуществляемого путем Формальный вывод этого интеграла будет дан в конце § 51. 238 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ ГЛ. IV испускания и поглощения ими плазменных волн. Эффект, одна- ко, будет значительным, лишь если в плазме имеется достаточно много частиц, скорости которых сравнимы с фазовой скоростью волн Уф = ои/к или превышают ее (только для таких частиц мо- жет выполняться требуемое соотношение ио = kV). Рассмотрим плазму, в которой электроны и ионы имеют каж- дый свою температуру Те и Т{. При Те ~ Т{ в плазме могут распространяться (без заметного затухания) только электронные плазменные волны, фазовая скорость которых г^ф ^> Уте\ чис- ло электронов, могущих «обмениваться» волнами в этом случае, следовательно, экспоненциально мало. Если же Те ^> Т{, то в плазме могут распространяться также и ионно-звуковые волны, фазовая скорость которых удовлетво- ряет неравенствам vn < ^ < vTe- D7.5) Эти волны могут дать существенный вклад в интеграл столкно- вений между электронами (В.П. Силищ 1962). Выделим из электрон-электронных величин B^V часть, свя- занную с этим эффектом; обозначим ее через В^о . Она возни- кает от области интегрирования в D7.4), лежащей в окрестно- сти корня уравнения e{uj,k) = 0, отвечающего закону дисперсии ионно-звуковых волн. Сам по себе этот корень ио(к) комплексен с малой мнимой частью (коэффициент затухания волны); когда ио пробегает вещественные значения в области интегрирования, ве- щественная часть функции е = е! + is" проходит через нуль, а мнимая остается малой. Имея в виду формулу C0.9), представим множитель |ё|~2 в подынтегральном выражении в D7.4) в виде J- = г =—S(e'). е|2 ?'2+?„2 |?//| V > Для электрон-электронного интеграла столкновений скорости v и v1 в D7.4) относятся к электронам, а в силу неравенства uj ^C kvTe B аргументах обеих ^-функций можно опустить чле- ны ио. Таким образом, интересующая нас часть B^V принимает вид 1k0^ D7.6) причем интегрирование по d?k производится (при заданном ои) по области D7.5). Преобразуем интеграл по dsk к новым переменным х, = kn, k\ = kv, &2 = kvr, § 47 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧЕРЕЗ ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ 239 где п — единичный вектор в направлении [vv7]. Прямым вычис- лением якобиана преобразования находим, что d?k заменяется на dx. dki dki Интегрирование по dk\ dk>2 устраняет ^-функции (в силу которых &i = &2 = 0), после чего будет к = хп. Переменная и пробегает как положительные, так и отрицательные значения; условившись интегрировать только по положительным значениям, пишем Б(пл) = 2jnp^ а/3 |[']| J J H^\e"(oj,x)\ V ' Диэлектрическая проницаемость двухтемпературной плазмы в области ионно-звуковых волн D7.5) дается формулами1) D7-8) Главный вклад в интеграл по d?c в D7.7) вносит (как это будет подтверждено дальнейшим вычислением) область аех ^ 1; по- этому последним членом в e\uj^k) можно пренебречь. Заметив, что Э [<*(<>по+<*(<>+ад и выполнив в D7.7) интегрирование по gLj, находим Р(пл) 4тге4Пг / ^ или, подставив выражение для е" и введя переменную ^ = х2а?: о(пл) _ |[W]|a? У 1 .+ ехр (-1/B0- где D7.10) х) См. C3.3). В D7.8) учтен также и ионный вклад в г". Хотя в области D7.5) он экспоненциально мал, но им определяется область интегрирования в интеграле D7.9) ниже. 240 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ В силу условий D7.5), интегрирование в D7.9) должно произво- диться по области ( —— ) <С ? <С 1. Поскольку интеграл сходит- \пеаеУ ся на малых ?, нижний предел можно положить равным нулю. При L\ —>• оо интеграл в D7.9) стремится к нулю; предпола- гая L\ достаточно большим, вычислим его в логарифмическом приближении, т. е. ограничившись лишь первым членом разло- жения по 1/L\. Основной вклад в интеграл возникает от области, в которой можно пренебречь экспоненциальным членом в знаме- нателе. Для этого должно быть —l/B?)+L]_/2 > 1, т. е. интеграл надо брать в пределах от 0 до 1/(Ь\ — 1) « 1/^ь что дает просто x). Таким образом, окончательно имеем о(пл) 2л/2тг e4zvTeTe (лплл\ В =ПП? ¦ D7Л1) Полное значение величин BJ в электрон-электронном ин- теграле столкновений получается сложением D7.11) с обычным кулоновским выражением D1.8), причем в аргументе кулонов- ского логарифма L дебаевский радиус Вклад плазменных волн D7.11) становится преобладающим при zTe > 1. D7.12)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Взаимодействие через плазменные волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
