Перейдем к обратному пре- дельному случаю, когда > 1 D6.8) и для рассеяния частиц применимо квазиклассическое прибли- жение. В этом случае нельзя учесть влияние среды на рассеяние единым образом при малых и больших углах рассеяния (как это было возможным в борновском случае); поэтому придется рас- смотреть эти две области отдельно и затем «сшить» результаты при промежуточных углах. Поле заряда е, движущегося со скоростью v в диэлектриче- ской среде, определяется уравнением divD = 4тге?(г — vt). В компонентах Фурье находим отсюда для потенциала поля 1): = 4тге '79/174 A;2s(kv, к) г) Вывод формулы D6.9) предполагает линейность связи между D и Е и тем самым достаточную малость поля. Это условие во всяком случае выпол- няется (в слабо неидеальном газе) на расстояниях г > а, от которых как раз и происходит расходимость интеграла, для устранения которой мы имеем в виду воспользоваться формулой D6.9). Этим расстояниям отвечают зна- чения к < 1/а, для которых диэлектрическая проницаемость существенно отличается от 1. § 46 СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ 229 При малых углах рассеяния изменение импульса частицы да- ется (см. I, § 20) классической формулой --/?*• D6.10) где U — энергия взаимодействия двух частиц, а интегрирование производится вдоль прямолинейной траектории г = р + v't (р — вектор прицельного расстояния) 1). Выразив энергию U = е'ср в виде интеграла Фурье U = 4тгее' / - — D6.11) J к2е(и,к) BтгK V ' (причем uj = kv) и подставив в D6.10), получим Внутренний интеграл дает ^-, где к\\ — проекция вектора к |v-v'| " на направление v — v7. Устранив затем E-функцию интегрирова- нием до dfc||, найдем = 4тггее/ f Iv-v'iy 2k (и,к±) BттJ' ^ ' j где к^ (как и р) — двумерный вектор в плоскости, перпендику- лярной v — v7. При этом и частота ш = k±v = k±V. D6.13) Ниже в этом параграфе мы будем опускать индекс _L, подразу- мевая везде под к указанный двумерный вектор. Вычислим теперь с помощью D6.12) величины Bap = ljqaqp\v-v'\d2p, D6.14) входящие в интеграл столкновений, разложенный по степеням малого q (сечение da в D1.4) написано здесь в виде прицельной площади d2p). Написав произведение двух интегралов D6.12) в виде двойного интеграла (по dPkdPk'), выполняем интегрирова- ние по d2p согласно Pp = BпJ6(к + к7). ) Безразлично, как вычислять величину q: как изменение импульса каж- дой из сталкивающихся частиц, или как изменение импульса их относитель- ного движения. 230 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ После этого интегрирование по сРк1 просто устраняет E-функцию и остается 2 /2 « 2 Б = 2е е / ^^ k D6.15) (здесь использовано также, что согласно B8.9) е(—оо,к) = = ?*(cj, к)). Эти интегралы уже сходятся при малых к (поскольку \е\~2 ->0 при о;, к -^ОI). В D6.15) входит проницаемость при отличной от нуля часто- те uj = kV; имея в виду это обстоятельство, иногда говорят, что эта формула учитывает эффект динамического экранирования. Обратим внимание на зависимость подынтегрального выра- жения в D6.15) от направления V через аргумент kV функции е. Эта зависимость исчезает при вычислении интеграла в логариф- мическом приближении, когда интегрирование ограничивается областью от k ~ 1/а до к ~ fw2/\ее'\. Основную роль в интеграле играют значения А;, далекие от обоих этих пределов; в этой обла- сти значений имеем |б|2 = 1 и интеграл сводится к f kakp d2k/kA. Усредняя подынтегральное выражение по всем направлениям к в плоскости, перпендикулярной v — v7, мы вернемся к прежнему выражению D1.8) с L = / dk/k. Для устранения расходимости при больших передачах им- пульса надо, как уже указывалось, произвести «сшивку» разло- женного по степеням q интеграла столкновений с неразложен- ным интегралом (J. Hubbard, 1961; О. Аопо, 1962). Рассмотрим разность SW-StB/, D6.16) где Stjm есть искомый сходящийся интеграл столкновений, а Ste дается выражением D6.7), которое в борновском случае представляет собой правильный интеграл столкновений, но здесь играет лишь вспомогательную роль. Разделим весь интервал изменения угла рассеяния на две области: I) Х<Хъ П) х>Хъ причем xi выбрано так, что ^^«Х1«1. D6.17) При классическом рассеянии на малые углы в кулоновском поле, угол х связан с прицельным расстоянием р соотношением 2|ее'| //(v- v'JX ) Устранение расходимости в интеграле столкновений Ландау, связан- ной с экранировкой кулоновского поля, принадлежит Балеску и Ленарду (R. Balescu, 1960; A. Lenard, 1960). Полностью сходящееся выражение D6.7) было написано А.А. Рухадзе и В.П. Силиным A961). § 46 СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ 231 Поэтому значению X = Xi отвечает (при условии D6.17)) зна- чение р = р\ <С а, так что на этом расстоянии экранировка несущественна и рассеяние действительно можно считать чисто кулоновским. То же самое относится и ко всей области р < р\ (т. е. х > Xi)- Сечение рассеяния в этой области будет, следова- тельно, резерфордовским, и соответствующий вклад в интеграл столкновений есть X>Xi Но точно таков же вклад области х > Xi B интеграл D6.7): в этой области q > q\, причем в силу условия D6.8) Qi »к h h HvothCl a и потому в D6.7) можно положить \е\2 = 1. Таким образом, вклад в разность D6.16) возникает только от области х < Xi (p > Pi), которую и остается рассмотреть. Во всей этой области передача импульса мала, так что интег- рал столкновений можно разлагать по степеням q. Входящие в разложенный StKJI величины Вар вычисляются как интегралы D6.14) с q из D6.12). Вклад в эти интегралы от области р> р\ равен ?\ D618) pi ^0 0 где в качестве пределов в двойных интегралах (по сРр и сРк) условно указаны пределы по р и к. Перепишем величины Fap тождественным образом в виде / qi/H Ы J .., \ 0 pi /qi/ -fd2p( J о V о oo / + J dpi pi \ oo + f d' pi i2l in 'oo / ,0 \ / A I ь I \ / a\ ..d2k ...d2, f oo /. qi/П I ¦ 0 \ / ) ( k) ( / a ..d2k qi/h I " 0 ( 00 /¦ ^91/ft \ / k) J у 1 C .d2k ..d2 qi/h I ¦ , 0 D6.19) 232 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ Первый член в D6.19), будучи преобразован как при выводе D6.15), дает в D6.18) вклад qi/h 2(ее'J |v - v' f J Это выражение как раз совпадает с тем, которое получилось бы при разложении интеграла D6.7), взятого по области \ < Xi Х); B интересующую нас разность D6.16) оно, следовательно, не дает вклада. Для преобразования остальных членов в D6.19) замечаем, что в их подынтегральных выражениях можно положить е = 1: интегралы остаются при этом сходящимися, и их значения опре- б к /fi Ь \\ р деляются областью к , *, в которой Ь>1 и потому Существенно также, что в силу условия D6.8) параметр 1. М»1, D6.20) Н flV отн поэтому надо сохранить только члены, остающиеся конечными при qipi/H —>> оо. В этом пределе третий и четвертый члены в D6.19) обращаются в нуль. Таким образом, остается лишь - (Bafi)lB = iA D6.21) где индексы «кл» и «Б» указывают, что значения Вар относятся соответственно к разложениям интегралов StKJI и Ste- Каждый из двух интегралов по d2к направлен вдоль векто- ра р; после интегрирования по этим направлениям (в плоскости, перпендикулярной v — v7) получим для разности D6.21) взятое с обратным знаком выражение вида D1.8) с Р\ г qi/h27r -. 2 L= f pdp -?- Г f cos (peikpcosvdtpdk\ . о о о г) Резерфордовское сечение рассеяния на малые углы, выраженное че- рез q, имеет вид ¦d q (использовано, что q и /i|v — v'|x, do и ). V n,2(v — vM2 / § 46 СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ 233 Воспользовавшись известным интегральным представлением функций Бесселя и равенством Jq(x) = — Л(ж), переписываем этот интеграл в виде L = fpdp\ f J1(kp)dk\ = f о L о Jo или, после интегрирования по частям, оо L = In ^i + 2 / Ji(x)[J0(x) - ] /г О Здесь учтено, что параметр piqi/H (уже не содержащий вспо- могательной величины xi) велик; соответственно этому заменен бесконечностью верхний предел в оставшемся интеграле, а в пер- вом члене положено Jo(qipi/fi) ~ 0. С помощью значений оо / Ji(x)lnxdx = -C + ln2, о оо / Jo(ж) Ji(x) Inxdx = -(In2 - С) о 2 (где С = 0, 577... — постоянная Эйлера; 7 = е° = 1? 78...) и с учетом D6.20) окончательно найдем -. D6.22) Подводя итог произведенным вычислениям, приходим к ре- зультату, что в квазиклассическом случае лишенный расходимо- стей интеграл столкновений может быть представлен в виде SW = StB/-SW, D6.23) где Ste дается формулой D6.7), a Stji — интеграл столкновений Ландау с кулоновским логарифмом D6.22). Подчеркнем, что в последнем |v — v;| — точная переменная величина, а не среднее значение ^Отн- В силу сделанных при выводе пренебрежений, этот резуль- тат справедлив, конечно, лишь с «улучшенной логарифмической точностью»: кинетическое уравнение с интегралом столкновений D6.23) позволяет улучшить точность вычислений лишь в смысле определения точного коэффициента в аргументе большого лога- рифма (с этой точностью, разумеется, из всех ответов выпада- ет ^, играющее в D6.23) лишь роль вспомогательного параметра).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квазиклассический случай» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
