При вычислении в § 29, 31 диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы полностью пренебрегалось всеми квантовыми эффектами. Полученные таким образом результаты ограничены, прежде всего, по температуре условием отсутствия вырождения; для электронов это условие гласит: K2N2/S D0.1) т 2 где ер = —.Vf — граничный импульс распределения Ферми при 2т Т = 0, связанный с плотностью числа электронов равенством Зтг2/*3 Кроме того, сама возможность применения к плазме во внеш- нем поле классического уравнения Больцмана связана с опреде- ленными условиями, наложенными на волновой вектор к и ча- стоту uj поля. Характерные расстояния изменения поля (~ 1/fc) должны быть велики по сравнению с де-бройлевской длиной волны электронов (Н/р), а связанная с этой неоднородностью неопределенность импульса (~ Нк) должна быть мала по сравне- нию с шириной (~ T/v) области размытия теплового распределе- ния электронов. Для невырожденной плазмы j9 ~ T/v ~ (ттт-ТI/2, так что оба эти условия совпадают. Для вырожденной плазмы р ~ pf, v ~ vp = рр/т, но поскольку Т < ?/?, то T/v < р. Таким образом, достаточно потребовать в обоих случаях Hkv < Т. D0.2) Наконец, частота должна удовлетворять условию Гил) < sF D0.3) — квант энергии поля должен быть мал по сравнению со сред- ней энергией электрона (это условие, впрочем, обычно не играет роли). Теперь мы рассмотрим диэлектрические свойства плазмы, от- казавшись от выполнения условий D0.1)—D0.3) для ее электрон- ной компоненты; ионная же компонента может оставаться невы- рожденной. Мы будем вычислять электронную часть диэлек- трической проницаемости. При этом будет по-прежнему пред- полагаться выполненным условие, обеспечивающее возможность пренебрежения взаимодействием частиц плазмы: ё; D0.4) 40 ПРОНИЦАЕМОСТЬ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ 201 ^ 1 /3 777-6^ при ? ~ ?/? это условие принимает вид 7Ve ^> , или /г2 (ср. V, § 80, IX, § 85). Отказ от условия D0.2) требует применения с самого нача- ла квантовомеханического уравнения для матрицы плотности. Поскольку взаимодействием между электронами пренебрегает- ся, можно писать замкнутое уравнение сразу для одночастичной матрицы плотности paiG2(t, ri, Г2) (<7i, <T2 - спиновые индексы). Будем считать распределение электронов независящим от спина; другими словами, зависимость матрицы плотности от спиновых индексов отделяется в виде множителя 6а1(Т2, который мы будем опускать. Независящая от спина матрица плотности /э(?, ri,r2) удовлетворяет уравнению Ш^ = (Н1-Щ)р, D0.5) где Н — гамильтониан электрона во внешнем поле, а индексы 1 или 2 указывают переменные (ri или Г2), на которые действует оператор (см. III, § 14). Это уравнение заменяет собой класси- ческую теорему Лиувилля (df/dt = 0) для классической одноча- стичной функции распределения. Будем (как и в § 29) вычислять продольную диэлектрическую проницаемость. Соответственно этому рассматриваем электри- ческое поле со скалярным потенциалом (p(t, г), так что гамиль- тониан электрона Н = - —V2-e^(?,r). D0.6) 2т Считая поле слабым, полагаем р = Ро(п - г2) + 5p(t, гь г2), D0.7) где ро — матрица плотности невозмущенного стационарного и однородного (но не обязательно равновесного) состояния газа; в силу его однородности, ро зависит только от разности R = ri— r2. Матрица плотности po® связана с (невозмущенной) функцией распределения электронов по импульсам по(р) формулой по(р) =Яе po(K)e-ip^nd6x, D0.8) J где Ме — полное число электронов (см. IX, G,20)). Здесь п(р) определяется как числа заполнения квантовых состояний элек- тронов с определенными значениями импульса и проекции спи- на. Число состояний, приходящихся на элемент импульсного про- странства d3p и с двумя значениями проекции спина, есть —. 202 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Поэтому п(р) связано с использовавшейся ранее функцией рас- пределения /(р) соотношением /(р) = MEL. D0.9) Подставив D0.7) в D0.8) и отбросив члены второго поряд- ка малости, получим линейное уравнение для малой добавки к матрице плотности: L at 2m = -e[tp(t, ri) - tp(t, r2)]po(ri - r2). D0.10) Пусть1) ф,т) = <ршке<кг-" *). D0.11) Тогда зависимость решения уравнения D0.10) от суммы ri + г 2 (и от времени) можно отделить, положив др = ехр [гк^±^ - turf] gwk(ri - г2). D0.12) Подставив это выражение в D0.10), получим уравнение для .к\2 Теперь можно перейти в этом уравнении к фурье- разложению по R. Умножив обе его части на ехр (—ipR/H) и проинтегрировав по с/3ж, получим (с учетом D0.8)) (где е(р) = p2/Bm)), или - по(р - Значение матрицы плотности при ri = Г2 = г определя- г) Гамильтониан D0.6) должен быть эрмитовым, а потому функция (р в нем (и, следовательно, в уравнении D0.10)) — вещественной. Но после того как уравнение D0.10) написано, ввиду его линейности можно его решать для каждой из комплексных монохроматических компонент поля в отдельности. § 40 ПРОНИЦАЕМОСТЬ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ 203 ет плотность числа частиц в системе: N = 2J\T p(t, г, г) (см. IX, G.19)). Поэтому изменение плотности электронов под влиянием поля есть SNe = We6p(t, г, г) = 2Яеег{*г-^ёшъ (R = 0), или, выразив g-^k(R = 0) через фурье-компоненты, SNe = 2Яее^~^ Jguk(p)-0-. D0.14) Соответствующее же изменение плотности зарядов есть —eSNe. Диэлектрическая проницаемость вычисляется теперь так, как это было сделано в § 29: исходя из связи плотности заряда с вектором диэлектрической поляризации (—eSNe = — divP = = —ikP) пишем eSNe = ^^ ^± 4тг 4тг Таким образом, находим следующую формулу для электрон- ной части продольной диэлектрической проницаемости плазмы с функцией распределения электронов п(р) (индекс 0 у которой теперь опускаем): / 7ч ., 4тге2 / п(р + fik/2) — п(р — fik/2) 2dsp /лпчг\ еЛшЛ) — 1 = — / ки '—!¦ к— '—!- — D0.15) V ' ' hk2 J kv-cj-гО Bтт/гK V J (Ю.Л. Климонтович, В.П. Силин, 1952); обход полюса в инте- грале определяется, как обычно, правилом Ландау. В квазиклассическом случае, при выполнении условий D0.2), D0.3), можно разложить функции п(р =Ь Нк/2) по степеням к. Тогда / , Пк\ ( Пк\ ы дп(р) пр + — —nip — — « Hk—^-^ V 2 ) V 2 ) dp и формула D0.15) переходит (с учетом связи D0.9)) в прежнюю формулу B9.9). Подчеркнем, однако, что распределение п(р) в этой формуле может относиться к вырожденной плазме. Применим формулу D0.15) к полностью вырожденной элек- тронной плазме при Т = 0, когда п(р) = 1 при р < рр и п(р) = 0 при р > pp. Заменив в двух членах в D0.15) переменную инте- грирования р ± Нк/2 —>• р, получим -, -±/ю у j х 1 у 2d p I hk2 J [cj+-kv + z0 cj_-kv + zOj BтгЛK P<PF где ио± = uo =Ь —. Элементарное, хотя и довольно громоздкое 2m 204 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III интегрирование приводит к результату ^g g(w_)}, D0.16) Up gM = — причем логарифм должен пониматься как \n\u\ — гтг, если его ар- гумент и < 0; «плазменная частота» Ое определена по-прежнему как Ое = Dтг7Уее2/?71I/2. В квазиклассическом пределе, при Нк <С ^f, /io; <C ?f 1M формула D0.16) приводит к простому выражению, не содержа- щему Н: ( 0 при ио\ D0.17) Особый интерес представляет статический случай. При ио = 0 выражение D0.16) как функция к имеет особенность в точке, где Нк совпадает с диаметром ферми-сферы: Нк = 2pF- D0.18) в этой точке аргумент одного из логарифмов обращается в нуль. Вблизи нее eri(O,A:) — 1 = ^— fl-fln-1-l , D0.19) |_ IS I J Покаж:ем, что наличие этой особенности (ее называют поповской) приводит к изменению характера экранировки поля зарядов в плазме, которая становится не экспоненциальной2). Запишем выражение D0.19) в виде бг@,?;)=/3-с^1п^ D0.20) е2 где а = , а постоянная /3 может включать в себя также и 27TJIVF не имеющий особенности вклад от невырожденной ионной ком- поненты плазмы. При Т = 0 достаточно этих условий. Дело в том, что предельное значе- ние е\ при hkvF /sf —>- 0 и Т —>- 0 не зависит от порядка перехода к пределу. Поэтому соотношение между hkvF и Т несущественно. 2) Физические следствия особенности, возникающей при условии D0.18), были указаны Коном (W. Kohn, 1959). § 40 ПРОНИЦАЕМОСТЬ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ 205 Фурье-компонента поля, создаваемого покоящимся в плазме малым точечным зарядом ei, выражается через диэлектриче- скую проницаемость формулой = (см. задачу 1 § 31). Для потенциала же <р(г) как функции рас- стояния от заряда е\ имеем оо tp® = [ ^кегкг-f^ = -V Im / №lkr к dk. D0.22) у BттK 2тг2г у При к —>> 0 функция <p(fc) стремится к постоянному преде- лу и не имеет особенности. Поэтому асимптотическое поведение интеграла в D0.22) при г —>> оо определяется особенностью этой функции при й& = 2рр. Вблизи нее enrti2 Вклад этой области в асимптотическое значение интеграла: оо ф) « ^g Im (e2*^/*J), J = ввиду быстрой сходимости (см. ниже) интегрирование по ? мож- но распространить от — оо до оо. Для вычисления интеграла J разделим его на две части — от — оо до 0 и от 0 до оо — и в каждой из них повернем путь интегрирования в плоскости комплексной переменной ? до его совпадения с верхней мнимой полуосью. Положив затем ? = гу, получим оо J = [ e-*PFry/h Г J_ _ ln J | = [ J о Разность в квадратных скобках сводится к гтг, так что J = = т ( ) . Окончательно находим \2pFrJ Таким образом, потенциал экранированного поля вдали от заряда осциллирует с амплитудой, спадающей по степенному 206 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III закону. Этот результат, полученный для вырожденной плазмы при Т = 0, остается в силе для малых, но конечных температур на расстояниях г <С -—^.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диэлектрическая проницаемость вырожденной бесстолкновительной плазмы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
При Т = 0 достаточно этих условий. Дело в том, что предельное значе- 