Применим формулу B9.10) к электронной плазме с равновес- ным (максвелловским) распределением электронов ехр (--^-) , C1.1) BтгтТеI/2 где Те — температура электронного газа (имея в виду включить ниже в рассмотрение также и ионную компоненту плазмы, будем сразу же отличать индексом е величины, относящиеся к электро- нам). Находим ^\ ()] C1.2) где функция F(x) определена интегралом1) оо оо т?(т\ — х е dz _ х L e dz o./^Tp-x2 /oi о\ д/тг J z — х — гО д/тг J z — х — оо —оо и введены параметры vTe = J-, ае = J—%—. C1.4) \ m у 4тг7Уее2 Величина Уте есть некоторая средняя тепловая скорость электро- нов; ае — дебаевский радиус, определенный по заряду и плотно- сти электронов. Предельные выражения функции F(x) для больших и малых значений х легко найти непосредственно из определения C1.3). При х ^> 1 пишем оо оо е — оо Различные формы представления функции F(x) и ее подробные числен- ные таблицы даны в книге: В.Н. Фаддеева, Н.М. Терентъев. Таблицы значе- ний интеграла вероятностей от комплексного аргумента. — М.: Гостехиздат, 1954. Табулированная в этой книге функция w(x) связана с F(x) согласно F{x) = г д/тг xw(x). 6 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 162 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Интегралы от нечетных по х членов обращаются в нуль, а остальные дают F(x) + 1 « -— - — + гл/^хе~х\ х > 1. C1.5) 2х2 4ж4 При ж <С 1 производим сначала замену переменной интегриро- вания z = и + ж, после чего разлагаем по степеням х: (X) (X) (X 0F J z-x — (X) Главное значение интеграла от первого (нечетного по и) члена обращается в нуль, а с учетом второго члена находим F(x) « -2x2+i^x, ж<1. C1.6) С помощью этих формул можно написать предельные выра- жения диэлектрической проницаемости. При больших частотах имеем при -^->1. C1.7) куТе Здесь введен параметр ue=v_Il= А^е2 CL8) ае \ m — так называемая плазменная (или ленгмюровская) частота для электронов. Как и следовало, в случае co/(kvTe) ^> 1 простран- ственная дисперсия приводит лишь к малым поправкам в ди- электрической проницаемости, причем мнимая часть е\ оказы- вается экспоненциально малой — результат того, что в максвел- ловском распределении лишь экспоненциально малая доля элек- тронов имеет скорости vx = со/к 3> ^те- Независящее от к пре- дельное значение диэлектрической проницаемости е{щ) = 1 - (Пе/ооJ. C1.9) Это выражение относится как к продольной, так и к поперечной проницаемости (см. B8.8)). Его легко получить с помощью про- стых рассуждений, без использования кинетического уравнения. Действительно, при к —>> 0 поле волны можно считать одно- родным, и тогда уравнение движения электрона mv = — еЕ дает еЕ v = , так что создаваемая электронами плотность тока imu j — — Л/. imu § 31 ПРОНИЦАЕМОСТЬ МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЫ 163 С другой стороны, имеем • * тэ ' ^(^0 — тт* j _ -ш _ 4тг Сравнение обоих выражений и приводит к формуле C1.9). В обратном предельном случае малых частот имеем при -^— < 1. ——) 1— ( + Ч/ C1.10) Обратим внимание на то, что пространственная дисперсия устра- няет полюс при ио = 0, который имеет диэлектрическая прони- цаемость обычной проводящей среды. Отметим также, что мни- мая часть проницаемости оказывается относительно малой (хо- тя и неэкспоненциально) и при малых частотах, на этот раз — в результате малости фазового объема электронов, в котором удо- влетворяется условие kv = ио. В § 29 было показано, что функция 6i{uo), определяемая ин- тегралом B9.10), не имеет особых точек в верхней полуплоско- сти о;, а ее особые точки в нижней полуплоскости определяются особыми точками df(px)/dpx как функции комплексной перемен- ной рх. Но для максвелловского распределения функция p 2mT вообще не имеет особых точек на конечных расстояниях во всей комплексной плоскости рх (т. е. является целой функцией). По- этому и диэлектрическая проницаемость максвелловской бес- столкновительной плазмы является целой функцией uj — не име- ет вовсе особенностей при конечных ио. До сих пор мы рассматривали вклад в диэлектрическую про- ницаемость, происходящий только от электронной компоненты плазмы. Вклад ионной части вычисляется точно тем же спосо- бом и оба вклада в е\ — 1 просто складываются; таким образом, приходим к очевидному обобщению формулы C1.2): Ull. C1.11) (ЬеJ L \V2kVTeJ J (кпг) Индексы е и г отличают величины, относящиеся к электронам и ионам; Л1/2 Vrr. Г Т I1/2 9 4tt/V-i м C1.12) (М и ze — масса и заряд иона). Выражение C1.11) относится к «двухтемпературной» плазме, в которой каждая из компонент 164 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III имеет равновесное распределение, но с различными температу- рами, так что друг с другом электроны и ионы в равновесии не находятся. Такой случай возникает естественным образом ввиду того, что большая разница в массе затрудняет обмен энергией при столкновениях электронов с ионами. Обычно приходится иметь дело с ситуацией, когда Т{ < Те; при этом VTi <^С Уте- Учитывая также, что всегда О^ ^С Ое, легко заключить, что в случае ио ^> kvTe ^ kvTi вклад ионов прене- брежим, так что справедлива формула C1.7). В обратном пре- дельном случае имеем ?/ — 1 = + + i\ , 31.13 (ЬеJ (ксцJ у 2 (kaiJkvTi Случай же kvTi <С ои <С кюте будет рассмотрен в § 32. Все вычисления в этом и предыдущем параграфах произведе- ны для продольной части диэлектрической проницаемости. Вы- числение поперечной проницаемости представляет меньший ин- терес. Дело в том, что поперечное поле обычно сводится к обыч- ным электромагнитным волнам, для которых частота и волновой вектор связаны соотношением ио/к = с/у/Щ. При этом ио/к > > с ^> VTei T- е- ш ^> kvTe\ поэтому пространственная дисперсия мала и диэлектрическая проницаемость дается формулой C1.9). Для этих волн отсутствует также и затухание Ландау; поскольку фазовая скорость волны превышает скорость света, то в плазме нет частиц, которые могли бы двигаться в фазе с волной (строго говоря, доказательство этого утверждения требует релятивист- ского рассмотрения — см. задачу 4).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Различные формы представления функции F(x) и ее подробные числен- 