Явление диффузии в смеси двух газов мы изучим для некото- рых частных случаев, допускающих сравнительно далеко идущее теоретическое исследование. Обозначим плотности числа частиц двух компонент смеси че- рез Ni и N2 и определим концентрацию смеси как с = N\/N, где N = N1+N2. Полная плотность числа частиц связана с давлени- ем и температурой согласно N = Р/Т. Давление газа постоянно по его объему; концентрация же и температура пусть меняются вдоль оси х (допуская изменение температуры, мы тем самым включаем в рассмотрение также и термодиффузию). Рассмотрим диффузию в смеси газов, из которых один («тя- желый») состоит из молекул с массой, большой по сравнению с массой частиц другого («легкого») газа. Легкий газ будем счи- тать одноатомным. Поскольку средняя тепловая энергия посту- пательного движения всех частиц (при заданной температуре) одинакова, то средняя скорость тяжелых молекул мала по срав- нению со скоростью легких и их можно рассматривать прибли- женно как неподвижные. При столкновении легкой частицы с тяжелой последнюю можно считать остающейся неподвижной; скорость же легкой частицы меняет направление, оставаясь неиз- менной по своей абсолютной величине. В этом параграфе рассмотрим случай, когда концентрация легкого газа в смеси мала (пусть это будет газ 1). Тогда столк- новения его атомов друг с другом относительно редки и мож- но считать, что легкие частицы сталкиваются только с тяжелы- ми2). В общем случае произвольной газовой смеси для функции распределения частиц каждой из компонент смеси должно быть составлено свое кинетическое уравнение, в правую часть кото- х) Для характеристики быстроты сходимости последовательных прибли- жений укажем, что при учете второго и третьего членов в разложениях A0.7) и A0.13) выражения E) и F) умножаются соответственно на A + + 0, 015 + 0, 001) и A + 0, 023 + 0, 002). 2) Кинетическая теория такой газовой модели была впервые развита Ло- ренцем (Н.А. Lorentz, 1905). 54 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I рого входит сумма интегралов столкновений частиц данной ком- поненты с частицами ее же и других компонент. В рассматрива- емом частном случае, однако, целесообразно произвести вывод упрощенного кинетического уравнения заново. Искомое уравнение должно определять функцию распреде- ления частиц легкого газа; обозначим ее через /(р, ж). В сделан- ных предположениях столкновения легких частиц с тяжелыми не меняют распределения последних, и в задаче о диффузии это распределение можно считать заданным. Пусть в — угол между направлением импульса легкой ча- стицы р = ttiiv и осью х. В силу симметрии условий задачи очевидно, что функция распределения будет зависеть (помимо переменных р и х) только от угла в. Обозначим через da = = F(p, a) do' сечение столкновений, в результате которых легкая частица, имевшая импульс р, приобретает импульс р7 = mv7, на- правленный в элементе телесных углов do'] а есть угол между векторами рир' (абсолютные величины которых одинаковы). Вероятность частице испытать такое столкновение на единице пути есть N2 da, где N2 — плотность числа тяжелых частиц. Ве- роятность же, отнесенная к единице времени, получается умно- жением еще на скорость частицы: N2vda. Рассмотрим частицы, находящиеся в заданной единице объ- ема и обладающие импульсом в заданном интервале абсолютных значений ф, направленным в элементе телесных углов do. Чис- ло таких частиц есть / d3p = f(p, #, х)р2 dp do. Из них в единицу времени в результате столкновений приобретет импульс р7, на- правленный в do', /(р, 0, х)р2 dp do • N2vF(p, a) do частиц. Всего, следовательно, изменит направление импульса d3p / N2vf(p,6, x)F(p, a) do' частиц. Наоборот, из числа частиц в d3p' = p'2 dp' do' приобретет ско- рость, направленную в do, /(р;, в', х)р'2 dp' do' • N2v'F(p', a) do частиц. Поскольку р' = р, то для полного числа частиц, приобре- тающих в результате столкновений скорость в d3p, имеем d3p / N2vf(p, в', x)F(p, a) do'. Таким образом, изменение числа частиц в элементе d3p равно разности d3p ¦ N2v J F(p, a)[f(p, ff, x) - /(p, в, х)] do1. § 11 ДИФФУЗИЯ ЛЕГКОГО ГАЗА В ТЯЖЕЛОМ 55 С другой стороны, это изменение должно быть равно полной производной по времени <ррй. = d3p • vV/ = d3p^- v cos в. dt дх Приравняв оба выражения, получим искомое кинетическое урав- нение в виде v cos 9^- = N2v J F(p, a)[f(p, в1, x)-f(p, в, х)} do1 = St/. A1.1) Отметим, что правая часть этого уравнения обращается в нуль для любой функции /, не зависящей от направления р, а не только для максвелловской функции /о, как это имеет место для уравнения Больцмана. Это обстоятельство связано с пред- положением о неизменности величины импульса при рассеянии легких частиц на тяжелых: очевидно, что такие столкновения оставляют стационарным любое распределение легких частиц по энергиям. Фактически уравнение A1.1) отвечает лишь нулевому приближению по малой величине rai/ra2, и уже в следующем приближении появляется релаксация по энергии. Если градиенты концентрации и температуры не слишком ве- лики (величины мало меняются на расстояниях порядка длины свободного пробега), то можно искать / в виде суммы где Sf — малая поправка к локально-равновесной функции рас- пределения /о, линейная по градиентам с и Т. В свою очередь ищем Sf в виде 5/= cos 0-g(p, ж), A1.2) где g — функция только от р и х. При подстановке в A1.1) в левой части уравнения достаточно оставить только член с /о; в интеграле же столкновений член с /о выпадает: St / = gN2v f F(p, a) (cos в' - cos в) do'] независящая от углов функция g вынесена из-под знака инте- грала. Этот интеграл можно упростить. Выберем в качестве поляр- ной оси для отсчета углов направление импульса р. Пусть ср и if' — азимуты направлений оси х и импульса р7 относительно полярной оси. Тогда cos#7 = cos в cos a + sin^sinacos^ — if'). Элемент телесных углов do' = sin a da dip', поскольку а — по- лярный угол для импульса р7. Интеграл от члена с cos (up — ср') 56 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I обращается в нуль при интегрировании по dtp'. В результате най- дем, что St / = -N2at(p)vg cos^ = -N2at(p)v6f, A1.3) где введено обозначение <Jt(p) = 2тг f F(p, a)(l — cos a) s'mada = J(l — cos a) da; (П.4) величину at называют транспортным сечением столкновений. Из уравнения A1.1) находим теперь J^ A1.5) ) ^. N2at дх Диффузионный поток i есть, по определению, плотность по- тока молекул одной из компонент смеси (в данном случае — лег- кой). Он вычисляется по функции распределения как интеграл i = //vd3p, A1.6) или, поскольку вектор i направлен по оси ж, % = J cos в • fv d3p = / cos2 в • gv d2p A1-7) (член с /о обращается в нуль при интегрировании по углам). Подставив сюда A1.5), получим N2dxJ at(p) 3N2dxJ at Это выражение можно записать в виде 1 д Г АТ I v \ \ 3N2 дх I \ at I ) где усреднение приводится по максвелловскому распределению. Наконец, вводим концентрацию с = Ni/N « N1/N2 (напомним, что по предположению N% 3> N\) и заменяем 7V2 w N = Р/Т. С учетом постоянства давления получим в результате Ъ~ Здх\т\аь/)~ 3\at/dx 3 дТ IT \at /J дх' ^ '' Эту формулу надо сравнить с феноменологическим выраже- нием диффузионного потока г = -ND (Vc + Ц-VT) , A1.9) заключающим в себе определения коэффициента диффузии D и термодиффузионного отношения кт (коэффициентом же 11 ДИФФУЗИЯ ЛЕГКОГО ГАЗА В ТЯЖЕЛОМ 57 термодиффузии называют произведение Dt = Dkr] см. VI, § 58) 1). Таким образом, находим & (uio) ^^ A1.11) При диффузионном равновесии в неравномерно нагретом газе устанавливается такое распределение концентраций, при ко- тором диффузионный поток i = 0. Приравняв постоянной выра- жение, стоящее в фигурных скобках в A1.8), получим с = const • —^—. A1-12) {V/Cf) Предполагая сечение at не зависящим от скорости и заметив, что (v) ~ (T/miI/2, найдем, что при диффузионном равновесии в смеси с малой концентрацией легкого газа последняя пропор- циональна у/Т] другими словами, легкий газ концентрируется в местах с большей температурой. По порядку величины коэффициент диффузии D ~vl, A1.13) где v — средняя тепловая скорость молекул легкого газа, а l~l/(Na) — длина свободного пробега. Напомним известный элементарный вывод этой формулы. Число молекул газа i, про- ходящих слева направо в 1 с через единичную площадку, перпен- дикулярную оси ж, равно по порядку величины произведению Niv, причем плотность N\ должна быть взята на расстоянии / влево от площадки, т. е. в тех местах, откуда молекулы дости- гают эту площадку уже без столкновений. Аналогичным обра- зом определяется число молекул, пересекающих ту же площад- ку справа налево, а разность обоих чисел дает диффузионный поток: dx откуда и следует A1.13) 2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диффузия легкого газа в тяжелом» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
