Наряду с параллельными переносами и поворотами систе- мы координат (инвариантность по отношению к которым выра- жает соответственно однородность и изотропию пространства) существует еще одно преобразование, оставляющее неизменным гамильтониан замкнутой системы. Это—так называемое пре- образование инверсии, заключающееся в одновременном изме- нении знака всех координат, т. е. изменении направления всех осей на обратное; правовинтовая система координат переходит при этом в левовинтовую, и наоборот. Инвариантность гамиль- тониана по отношению к этому преобразованию выражает собой симметрию пространства по отношению к зеркальным отраже- ниям1) . В классической механике инвариантность функции Га- мильтона по отношению к инверсии не приводит к каким-либо ) Инвариантен по отношению к инверсии также и гамильтониан систе- мы частиц, находящихся в центрально-симметричном поле (причем начало координат должно совпадать с центром поля). 130 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV новым законам сохранения. В квантовой же механике ситуация существенно иная. Введем оператор инверсии Р1), действие которого на волно- вую функцию ф(т) заключается в изменении знака координат: Рф(г) =г/>(-т). C0.1) Легко найти собственные значения Р этого оператора, опре- деляемые уравнением Рф(г) = Рф(г). C0.2) Для этого замечаем, что двукратное воздействие оператора ин- версии приводит к тождеству — аргументы функции вообще не меняются. Другими словами, имеем Р2ф = Р2ф = г/;, т.е. Р2=1, откуда Р = ±1. C0.3) Таким образом, собственные функции оператора инверсии либо не меняются вовсе под его воздействием, либо меняют свой знак. В первом случае волновую функцию (и соответствующее состояние) называют четной, а во втором — нечетной. Инвариантность гамильтониана по отношению к инверсии (т. е. коммутативность операторов Н и Р) выражает собой, сле- довательно, закон сохранения четности: если состояние замкну- той системы обладает определенной четностью (т. е. если оно чет- но или нечетно), то эта четность сохраняется со временем2). По отношению к инверсии инвариантен также и оператор момента: инверсия меняет знак как координат, так и операто- ров дифференцирования по ним, а потому оператор B6.2) оста- ется неизменным. Другими словами, оператор инверсии комму- тативен с оператором момента, а это значит, что система может обладать определенной четностью одновременно с определенны- ми значениями момента L и его проекции М. При этом мож- но утверждать, что все состояния, отличающиеся только значе- нием М, обладают одинаковой четностью. Это обстоятельство очевидно уже из независимости свойств замкнутой системы от ее ориентации в пространстве, а формально может быть доказа- но исходя из коммутации L+P — PL+ = 0 тем же путем, каким было получено B9.3) из B9.2). х) От английского слова parity—четность. ) Во избежании недоразумений напомним, что речь идет о нерелятивист- ской теории. В природе существуют взаимодействия (рассматриваемые в релятивистской теории), нарушающие сохранение четности. §30 ЧЕТНОСТЬ СОСТОЯНИЯ 131 Для матричных элементов различных физических величин существуют определенные правила отбора по четности. Рассмотрим сначала скалярные величины. При этом надо различать истинные скаляры — не меняющиеся вовсе при инвер- сии, и псевдоскаляры — величины, меняющие знак при инверсии (псевдоскаляром является скалярное произведение аксиального и полярного векторов). Оператор истинного скаляра / коммута- тивен с Р, отсюда следует, что если матрица Р диагональна, то и матрица / диагональна по индексу четности, т. е. отличны от нуля матричные элементы только для переходов g —>> g и п —)> п (индексы g и и означают соответственно четные и нечетные со- стояния). Для оператора же псевдоскалярной величины имеем Pf = — fP\ операторы Ри/ «антикоммутативны». Матричный элемент этого равенства для перехода g —>> g есть и поскольку Pgg = 1, то fgg = 0; таким же образом находим, что и fuu = 0. Таким образом, матрица псевдоскалярной вели- чины имеет отличные от нуля элементы только для переходов, с изменением четности. Итак, правила отбора для матричных элементов скалярных величин: истинные скаляры: g—>>g, и —>• п, псевдоскаляры: g —>> и, и —>> g, ^ ' Эти правила можно получить и другим способом, прямо из определения матричных элементов. Рассмотрим, например, интеграл fug = / ipufi/>g dq, где функция ipg — четна, а фи — нечетна. При изменении знака всех координат подынтегральное выражение меняет знак, если / есть истинный скаляр; с другой стороны, интеграл, взятый по всему пространству, не может измениться от изменения обозначения переменных интегрирова- ния. Отсюда следует, что fug = —fug-, T-e- fug = 0. Аналогичным образом можно получить правила отбора для векторных величин. При этом надо помнить, что обычные, по- лярные, векторы при инверсии меняют знак, а аксиальные век- торы при этом преобразовании не меняются (таков, например, вектор момента — векторное произведение двух полярных векто- ров риг). Учтя это, найдем правила отбора: полярные векторы: g —>> гх, и —>> g, C0.5) аксиальные векторы: g ^ g, и —>> и. ч 7 Определим четность состояния одной частицы с моментом /. Преобразование инверсии (ж —>> —ж, у —>> —у, z —>> —z) состоит, 132 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV для сферических координат, в преобразовании Г ^ Г, #-^7Г-#, (р -» (f + TT. C0.6) Зависимость волновой функции частицы от углов задается сфе- рической функцией 1^т, которая, с точностью до несуществен- ной для нас здесь постоянной, имеет вид Pj7l(cos6)eim(p. При замене <р на ср + тг множитель егтп^ умножается на (—l)m, a при замене в на тг — в P/m(cos^) переходит в P/m(—cos^) = = (—l)/~mP/m(cos#). Таким образом, вся функция умножится на число (—II (не зависящее от т, в согласии со сказанным выше), т.е. четность состояния с данным значением / есть Р= (-1)'. C0.7) Мы видим, что все состояния с четным / четны, а с нечетным / нечетны. Векторная физическая величина, относящаяся к отдельной частице, может иметь матричные элементы лишь для переходов с I —>> /, Zdzl (§ 29). Имея это в виду и сопоставляя формулу C0.7) со сказанным выше относительно изменения четности в матрич- ных элементах векторов, мы приходим к выводу, что матричные элементы векторных величин, относящихся к отдельной частице, отличны от нуля только для переходов: полярные векторы: / —>• / ± 1, 7 7 C0.8) аксиальные векторы: / —м. v y
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Четность состояния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
