В § 15 при выводе закона сохранения импульса мы воспользо- вались однородностью пространства по отношению к замкнутой системе частиц. Наряду с однородностью пространство обладает также и свойством изотропии— все направления в нем эквивалентны. Поэтому гамильтониан замкнутой системы должен не меняться при повороте всей системы как целого на произвольный угол вокруг произвольной оси. Достаточно по- требовать выполнения этого условия для произвольного беско- нечно малого поворота. Пусть 5ф есть вектор бесконечно малого поворота, равный по величине углу 6<р поворота и направленный по оси, вокруг которой производится поворот. Изменения 6га (радиусов-век- торов частиц га) при таком повороте равны 5га = [5ф-га]. га Произвольная функция f/>(ri, г2,...) при этом преобразовании переходит в функцию ) ф( Г2, . . . ) + Sip J}roVe])</>(гЬ Г2, Выражение есть оператор бесконечно малого поворота. Тот факт, что бес- конечно малый поворот не меняет гамильтониан системы, вы- ражается (ср. § 15) коммутативностью оператора поворота с оператором Н. Поскольку 5ф есть постоянный вектор, то это \ 26 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 113 условие сводится к соотношению выражающему собой некоторый закон сохранения. Величина, сохранение которой для замкнутой системы следу- ет из свойства изотропии пространства, есть момент импульса системы (ср. I, §9). Таким образом, оператор J^[r«^a] должен соответствовать, с точностью до постоянного множителя, пол- ному моменту импульса движения системы, а каждый из членов суммы [raVa] — моменту отдельной частицы. Коэффициент пропорциональности должен быть положен равным — iH] тогда выражение для оператора момента частицы —ih[rV] = [гр] будет в точности соответствовать классическому выражению [гр]. В дальнейшем мы будем всегда пользоваться моментом, измеренным в единицах Н. Оператор определенного таким образом момента отдельной частицы будем обозначать через I, а оператор момента всей системы — через L. Таким об- разом, оператор момента частицы: П1= [гр] = -ih[vV] B6.2) или в компонентах: tttx = VPz ~ Фу, Щ = Фх ~ XPz, ^z = Хру - урх. Для системы, находящейся во внешнем поле, момент импуль- са в общем случае не сохраняется. Однако сохранение момента все же может иметь место при определенной симметрии поля. Так, если система находится в центрально-симметричном поле, то все направления в пространстве, исходящие из центра, эквива- лентны, и поэтому будет сохраняться момент количества движе- ния относительно этого центра. Аналогично, в аксиально-сим- метричном поле сохраняется составляющая момента вдоль оси симметрии. Все эти законы сохранения, имеющие место в клас- сической механике, остаются в силе и в квантовой механике. У системы с несохраняющимся моментом в стационарных состояниях момент не имеет определенных значений. В таких случаях иногда представляет интерес среднее значение момен- та в данном стационарном состоянии. Легко видеть, что во вся- ком невырожденном стационарном состоянии среднее значение момента равно нулю. Действительно, при изменении знака вре- мени энергия не меняется, и поскольку данному уровню энергии соответствует всего одно стационарное состояние, то, следова- тельно, при замене t на — t состояние системы должно остаться 114 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV неизменным. Это значит, что должны остаться неизменными и средние значения всех величин, в частности момента. Но при изменении знака времени момент импульса меняет знак, и мы получили бы L = — L; отсюда следует, что L = 0. Тот же резуль- тат можно получить и исходя из математического определения среднего значения L как интеграла от ip*~Lip. Волновые функции невырожденных состояний вещественны (см. конец § 18). Поэто- му выражение L = -if чисто мнимо, а поскольку L должно быть, разумеется, веще- ственной величиной, то L = 0. Выясним правила коммутации операторов момента с опера- торами координат и импульсов. С помощью соотношений A6.2) легко находим {Ty,y} = 0, {Ty,z} = ix, {Ty,x} = -iz, B6.3) {Tz,z} = 0, {Tz,x} = iy, {Tz,y} = -ix. Так, ХвУ ~ уХс = ~(yPz ~ zpy)y - y(ypz - zpy)- = ~^{py,y} = iz. Все соотношения B6.3) могут быть написаны в тензорном виде ^ {k,xk} = гешхи B6.4) где eiki — антисимметричный единичный тензор третьего ран- га1), а по дважды повторяющимся «немым» индексам подра- зумевается суммирование. ) Антисимметричный единичный тензор третьего ранга еш (называемый также единичным аксиальным тензором) определяется как тензор, антисим- метричный по всем трем индексам, причем ei23 = 1- Очевидно, что из 27 его компонент отличны от нуля только те 6, у которых индексы г, к, I образуют какую-либо перестановку чисел 1, 2, 3. При этом компоненты равны +1, если перестановка г, к, I получается из 1, 2, 3 четным числом парных перестано- вок чисел (транспозиций), и равны —1 при нечетном числе транспозиций. Очевидно, что ^ikl^ikm = 2?/m, ^гЫ^гЫ = 6. Компоненты вектора С = [АВ], являющегося векторным произведением двух векторов А и В, могут быть написаны с помощью тензора е^/ в виде d = eikiAkBi. §26 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 115 Легко убедиться, что аналогичные соотношения коммутации имеют место для операторов момента и импульса {к,Рк} = ieMpi. B6.5) При помощи этих формул легко найти правила коммутации для операторов компонент момента друг с другом. Имеем НAх1у - lylx) = lx(zPx — Xpz) — (zpx — Xpz)lx = = (Txz - zlx)px - x(Txpz - pzTx) = -iypx + ixpy = ituz. Таким образом, {ly,lz} = Hx, {lz,lx} = Hy, {lx,ly} = Hz B6.6) или {k,h} = ieiklll. B6.7) В точности такие же соотношения имеют место и для опе- раторов Ьж, Ly, Lz полного момента системы. Действительно, поскольку операторы моментов различных частиц коммутатив- ны друг с другом, то, например, / "&у / "clz / "clz / ау — / y^ay^ciz ^az^ciy) — " а а а а а Таким образом, {Ly,Lz} = iLx, {LZ,LX} = iLy, {Lx,Ly} = iLz. B6.8) Соотношения B6.8) показывают, что три компоненты мо- мента не могут одновременно иметь определенные значения (за исключением только случая, когда все три компоненты одно- временно равны нулю—см. ниже). В этом отношении момент существенно отличается от импульса, у которого три компонен- ты одновременно измеримы. Из операторов LXl Ly, Lz составим оператор квадрата абсо- лютной величины вектора момента: L2 = L2X + 1\ + 1\. B6.9) Этот оператор коммутативен с каждым из операторов L#, Ly, {L2,Lx} = 0, {L2,LJ = O, {Z2,Lz} = 0. B6.10) Действительно, используя B6.8), имеем, например, \J^X ^zj = J^xiJ^x^ ^zj ~\~ \^xi lJz\lJx = —^yL/rjcLiy -\- L/yL/xjj \Ly, Lzj = i[LxLy + LyLx), 116 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV Складывая эти равенства, получим последнее из соотношений B6.10) Физически соотношения B6.10) означают, что квадрат мо- мента (т. е. его абсолютная величина) может иметь определенное значение одновременно с одной из его составляющих. Вместо операторов Ьж, Ly часто бывает удобнее пользоваться их комплексными комбинациями L+ = Lx + ily, L_=LX- iLy. B6.11) Легко убедиться прямым вычислением с помощью B6.8), что для этих комбинаций справедливы следующие правила коммутации: {L+, L_} = 2LZ, {Lz, L+} = L+, {Lz, L_} = -L_. B6.12) Нетрудно также проверить, что L2 = L+L_ + L2 - Lz = L_L+ + L2Z + Lz. B6.13) Наконец, выпишем часто используемые выражения для опе- ратора момента отдельной частицы в сферических координатах. Вводя последние, согласно обычным соотношениям х = г sin в cos (/?, у = г sin в sin 99, z = г cos 9, получим после простого вычисления следующие выражения: % = -г — , B6.14) Подставив их в B6.13), получим оператор квадрата момента ча- стицы в виде 1 = - —^ « Н sm6>— . B6.16) L sin2 6» а^2 8твдв\ д^)\ v ; Обратим внимание на то, что это есть, с точностью до множите- ля, угловая часть оператора Лапласа.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Момент импульса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
