Уравнение Шредингера в общем виде Нф = Еф может быть получено из вариационного принципа f B0.1) Ввиду комплексности ф варьирование по ф и ф* можно произ- водить независимо. Варьируя по ф*, имеем 6il>*(H-E)il>dq = 0, откуда, ввиду произвольности 5ф*, получаем искомое уравне- ние Нф = Еф. Варьирование по ф не дает ничего нового. Дей- ствительно, варьируя по ф и воспользовавшись эрмитовостью § 20 ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 85 оператора Н, имеем / il>*(H-EM'il>dq= f 5ф(Н* -E)i/>*dq = 0, откуда получается комплексно сопряженное уравнение Н*ф* = = Еф*. Вариационный принцип B0.1) требует безусловного экстре- мума интеграла. Его можно представить в другом виде, рас- сматривая Е как множитель Лагранжа в задаче об условном экстремуме 5 I\p*Hipdq = O B0.2) при дополнительном условии фф*Aд= 1. B0.3) Минимальное (при дополнительном условии B0.3)) значе- ние интеграла B0.2) представляет собой первое из собственных значений энергии, т. е. энергию Eq нормального состояния. Осу- ществляющая этот минимум функция ф есть соответственно волновая функция ф$ нормального состоянияг). Волновые же функции фп (п > 0) следующих стационарных состояний соот- ветствуют лишь экстремуму, а не истинному минимуму инте- грала. Для того чтобы получить из условия минимальности инте- грала B0.2) волновую функцию ф\ и энергию Е\ следующего после нормального состояния, надо допускать в качестве кон- курирующих функций ф только те, которые удовлетворяют не только условию нормировки B0.3), но и условию ортогонально- сти к волновой функции фо нормального состояния J ффо dq = 0. Вообще, если известны волновые функции ф$,ф\,... ,фп-1 пер- вых п состояний (состояния расположены в порядке возраста- ния их энергий), то волновая функция следующего состояния осуществляет минимум интеграла B0.2) при дополнительных условиях: Гф2Aд=1, I ффт dq = O, т = 0,1, 2,..., п - 1. B0.4) ) Ниже в этом параграфе мы будем считать волновые функции ф веще- ственными, каковыми их всегда можно выбрать (если нет магнитного поля). 86 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III Приведем здесь некоторые общие теоремы, которые могут быть доказаны на основании вариационного принципа1). Волновая функция фо нормального состояния не обращается в нуль (или, как говорят, не имеет узлов) ни при каких конечных значениях координат2). Другими словами, она имеет одинако- вый знак во всем пространстве. Отсюда следует, что волновые функции фп (п > 0) других стационарных состояний, ортого- нальные к ф$, непременно имеют узловые точки (если фп — тоже постоянного знака, то интеграл / фофп dq не может обратиться в нуль). Далее, из факта отсутствия узлов у фо следует, что нор- мальный энергетический уровень не может быть вырожденным. Действительно, предположим противное, и пусть фо, ^q —две различные собственные функции, соответствующие уровню Е$. Всякая линейная комбинация сфо + с'ф'о тоже будет собствен- ной функцией; но, выбирая соответствующим образом постоян- ные с, с7, всегда можно добиться обращения этой функции в нуль в любой заданной точке пространства, т. е. мы получили бы собственную функцию с узлами. Если движение происходит в ограниченной области про- странства, то на границе этой области должно быть ф = 0 (см. § 18). Для определения уровней энергии нужно найти из вариационного принципа минимум интеграла B0.2) при этом граничном условии. Теорема об отсутствии узлов у волновой функции нормального состояния гласит здесь, что фо не обра- щается в нуль нигде внутри указанной области. Отметим, что при увеличении размеров области движения все уровни энергии Еп уменьшаются; это следует непосредствен- но из того, что возрастание области увеличивает круг конкурирующих функций, осуществляющих минимум интегра- ла, в результате чего минимальное значение интеграла может только уменьшиться. Выражение I dq для состояний дискретного спектра системы частиц может быть 1) Доказательство теорем (см. также следующий параграф) о ну- лях собственных функций можно найти в книгах: М. А. Лаврентьев и Л. А. Люстерник. Курс вариационного исчисления. — М.: Гостехиздат, 1950. Гл. IX; Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики. — М.: Го- стехиздат, 1951. Т. I, гл. VI. 2) Эта теорема (как и дальнейшие следствия из нее), вообще говоря, несправедлива для волновых функций систем, состоящих из нескольких тождественных частиц (см. конец §63). § 21 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ 87 преобразовано к другому виду, более удобному для фактическо- го варьирования. В первом члене подынтегрального выражения пишем 2 Интеграл от diva(ip\7aip) no dVa преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной замкнутой поверхности, и поскольку на бесконечности волновые функции состояний дискретного спек- тра обращаются в нуль достаточно быстро, то этот интеграл исчезает. Таким образом, ? ~\q. B0.5)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вариационный принцип» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
