Волновая функция Ф полностью определяет состояние физи- ческой системы в квантовой механике. Это означает, что задание этой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства системы в этот момент, но определяет ее поведение также и во все будущие моменты времени —конечно, лишь с той степенью полноты, которая вообще допускается квантовой меха- никой. Математически это обстоятельство выражается тем, что значение производной <ЭФ/dt от волновой функции по времени в каждый данный момент времени должно определяться значе- нием самой функции Ф в тот же момент, причем зависимость эта должна быть, согласно принципу суперпозиции, линейной. В наиболее общем виде можно написать гН^ = Я Ф, (8.1) dt где Я— некоторый линейный оператор; множитель ih введен здесь с целью, которая выяснится ниже. Поскольку интеграл JФ*Фб?g есть постоянная, не зависящая от времени величина, то имеем ? [\^dq= [^dq+ /V^dg = 0. dtj ' ' Ч J dt Ч J dt Ч Подставив сюда (8.1) и применив в первом интеграле опреде- ление транспонированного оператора, получим (опустив общий множитель г /И): /фя*ф*^- / = /ф*Я*Ф^- /ф*ЯФ^= /ф* Поскольку это равенство должно выполняться для произ- вольной функции Ф, то отсюда следует, что должно быть тож- дественно Я+ = Я, т. е. оператор Я эрмитов. § 9 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ ПО ВРЕМЕНИ 45 Выясним, какой физической величине он соответствует. Для этого воспользуемся предельным выражением волновой функ- ции F.1) и запишем dt ~ П dt (медленно меняющуюся амплитуду а можно не дифференциро- вать). Сравнив это равенство с определением (8.1), мы видим, что в предельном случае оператор Н сводится к простому умно- жению на величину —dS/dt. Это значит, что последняя и есть та физическая величина, в которую переходит эрмитов опера- тор Н. Но производная —dS/dt есть не что иное, как функция Га- мильтона Н механической системы. Таким образом, Н есть опе- ратор, соответствующий в квантовой механике функции Гамиль- тона. Его называют гамильтоновым оператором или, короче, гамильтонианом системы. Если вид гамильтониана известен, то уравнение (8.1) определяет волновые функции данной физиче- ской системы. Это основное уравнение квантовой механики на- зывается волновым уравнением.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гамильтониан» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
