Уравнения движения содержатся, как известно, в уравнениях г)Тк м = °' A34Л) выражающих собой законы сохранения энергии и импульса той физической системы, к которой относится тензор Тък. Воспользо- вавшись выражением A33.2) для Т , мы получим отсюда урав- нения движения жидкости; при этом, однако, необходимо допол- нительно учесть сохранение числа частиц, не содержащееся в уравнениях A34.1). Подчеркнем, что тензор энергии-импульса § 134 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 693 A33.2) не учитывает никаких диссипативных процессов (в том числе вязкости и теплопроводности); поэтому речь идет об урав- нениях движения идеальной жидкости. Для формулирования уравнения, выражающего сохранение числа частиц в жидкости (уравнения непрерывности), введем 4-вектор тока частиц пг. Его временная компонента есть плот- ность числа частиц, а пространственные компоненты составля- ют трехмерный вектор тока частиц. Очевидно, что 4-вектор пг должен быть пропорционален 4-скорости и1, т. е. иметь вид п* = пи\ A34.2) где п — скаляр; из его определения ясно, что п — собственная плотность числа частиц х) . Уравнение непрерывности выража- ется просто равенством нулю 4-дивергенции вектора тока: д-^1 = 0. A34.3) dxi v } Возвратимся к уравнениям A34.1). Дифференцируя выраже- ние A33.2), получим Умножим это уравнение на tf, т. е. спроецируем его на направ- ление 4-скорости. Помня, что щи1 = 1, а потому щди1 /дхк = 0, находим в^-и**_ = 0. A34.5) дхк дхк v ; Заменив тождественно wuk = nuk(w/n) и воспользовавшись уравнением непрерывности A34.3), переписываем это уравнение в виде .к I пи •\_d_w_ldp_-\ = 0 1дхк п п дхк J ) При очень высоких температурах в веществе может происходить возник- новение новых частиц, так что полное число частиц каждого рода меняется. В таких случаях под п надо понимать сохраняющуюся макроскопическую величину, характеризующую число частиц. Так, если речь идет об образо- вании электронных пар, под п можно понимать число электронов, которое осталось бы после аннигиляции всех пар. Удобным определением п может служить плотность числа барионов (число антибарионов — если они имеют- ся — считается при этом отрицательным). К области применений ультраре- лятивистской гидродинамики могут относиться, однако, и задачи, в которых вообще нельзя ввести какой-либо сохраняющейся макроскопической харак- теристики числа частиц в системе, и последнее само определяется условиями термодинамического равновесия (таковы задачи, связанные с множествен- ным образованием частиц при столкновениях быстрых нуклонов); вывод гидродинамических уравнений для таких случаев — см. задачу 2. 694 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. XV Согласно известному термодинамическому соотношению для тепловой функции имеем d™ = Td- + -dp A34.6) п п п (Т — температура, а — энтропия отнесенная к единице собствен- ного объема) г) . Отсюда видно, что выражение в квадратных скобках есть производная Тд(а/п)/дхк. Опустив множитель пТ, приходим, таким образом, к уравнению ^ ^ 0, A34.7) дхк п as n выражающему адиабатичность движения жидкости {d/ds озна- чает дифференцирование вдоль мировой линии движения дан- ного элемента жидкости). С помощью уравнения непрерывности A34.3) его можно представить в эквивалентном виде —аи1 = 0, A34.8) дхг т. е. как равенство нулю 4-дивергенции потока энтропии аи1. Спроецируем теперь уравнение A34.1) на направление, нор- мальное к и1. Другими словами, составим их комбинацию 2) «?_„,„*«*= о дхк дх1 (выражение в левой части тождественно обращается в нуль при скалярном умножении на и1). Простое вычисление приводит к уравнению k дщ dp k Op (лол (\\ wu —- = —- — щи —*-. A34.9) дхк dxi дхк v J Три пространственные компоненты этого уравнения представля- ют собой релятивистское обобщение уравнения Эйлера (времен- ная же компонента есть следствие первых трех). Уравнение A34.9) может быть представлено в другом виде в случае изэнтропического движения (подобно преобразованию Напомним, что такое соотношение имеет место для определенного ко- личества вещества (а не для определенного объема, в котором может на- ходиться переменное число частиц). В A34.6) оно написано для тепловой функции, отнесенной к одной частице, а 1/п есть объем, приходящийся на одну частицу. 2) Для удобства напомним, что компоненты 4-скорости (см. II, § 4): иг = G, где для краткости введено (в этой главе!) обозначение ^ = A — v2/ § 134 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 695 от B.3) к B.9) для нерелятивистского уравнения Эйлера). При а/п = const имеем, согласно A34.6), др д w -J- = П : — дхг дхг п и уравнение A34.9) принимает вид k д fw \ д w /1О/| -, n\ гг—- —щ = —: —. A34.10) дхк\п ) дхг п У J Если движение к тому же еще и стационарно (все величины не зависят от времени), то пространственные компоненты A34.10) дают n J п Умножив это уравнение скалярно на v, после простых преобра- зований получим (wV)(ryw/n) = 0. Отсюда следует, что вдоль каждой из линий тока постоянна величина syw/n = const. A34.11) Это — релятивистское обобщение уравнения Бернулли . Не предполагая изэнтропическое течение стационарным, лег- ко видеть, что уравнения A34.10) имеют решения вида -щ = -^, A34.12) Т1 ОХ где (р — функция координат и времени; эти решения — реляти- вистский аналог потенциальных течений нерелятивистской гид- родинамики (И.М. Халатников, 1954). Для проверки сказанного замечаем, что в виду симметрии производных д2(р/дхг дхк по ин- дексам г и /с, имеем д fw \ д умножив это равенство скалярно на и и раскрыв производную в правой части, действительно вернемся к уравнению A34.10). Пространственные и временная компоненты равенства A34.12) дают: 7—v = Vcp, cry- + -f = 0. пс п ot Первое из них в нерелятивистском пределе дает обычное усло- вие потенциальности, а второе — уравнение (9.3) (с соответст- вующим переобозначением if /(cm) —>> ф). х) При v ^С с имеем w/n = тс2 + mwuep (где гиНер — нерелятивистская теп- ловая функция единицы массы, обозначавшаяся в § 5 как w) и A34.11) пе- реходит в уравнение E.3). 696 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. XV Рассмотрим распространение звука в среде с релятивистским уравнением состояния (т. е. в котором давление сравнимо с плот- ностью внутренней энергии, включающей в себя энергию покоя). Гидродинамические уравнения звуковых волн могут быть линеа- ризованы; при этом удобнее исходить непосредственно из записи уравнений движения в исходном виде A34.1), а не из эквивалент- ных им уравнений A34.8), A34.9). Подставив выражения A33.3) компонент тензора энергии-импульса и сохранив везде лишь ве- личины первого порядка малости по амплитуде волны, получим систему уравнений де -,. w dv VT/ /пол io\ = -wdivv, -— = -Vp , 134.13 dt c2 dt где штрихом отмечены переменные части величин в волне. Ис- ключив отсюда v, найдем ^ = JAP. dt2 Наконец, написав е' = (де/др)^', получим для р' волновое урав- нение со скоростью звука, которая в этой главе будет обозначать- ся буквой и: - = 4fI'2 A34-14) V де / ад (индекс «ад» указывает, что производная должна быть взята для адиабатического процесса, т. е. при постоянном а/п). Эта фор- мула отличается от соответствующего нерелятивистского выра- жения тем, что вместо обычной плотности массы здесь стоит е/с2. Для ультрарелятивистского уравнения состояния р = е/3 скорость звука и = / Наконец, скажем несколько слов о гидродинамических урав- нениях при наличии существенных гравитационных полей, т. е. в общей теории относительности. Они получаются из уравнений A34.8), A34.9) просто путем замены обычных производных ко- вариантными wukui,k = |Р - щик^-, (аи%г = 0. A34.15) дхг дхк х) В общем случае эти уравнения довольно сложны. Их подробная запись в раскрытом виде (выраженном с помощью трехмерного тензора простран- ственной метрики — 7«/3 из И; § 84) дана в статье Nelson R.A. // Gen. Rel. Grav. 1981. V. 13. P. 569. Гидродинамические уравнения в первом после- ньютоновском приближении даны в статье Chandrasekhar S. // Astroph. J. 1965. V. 142. P. 1488; они приведены также в кн.: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977, § 39, 11 [Misner C.W., Thome K.S., Wheeler J.A. Gravitation. — Freeman, 1973]. § 134 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 697 Выведем из этих уравнений условие механического равнове- сия в гравитационном поле. При равновесии гравитационное по- ле статично; можно выбрать такую систему отсчета, в которой вещество неподвижно (иа = 0, и0 = g00 / ), все величины не зави- сят от времени, а смешанные компоненты метрического тензора равны нулю (goa = 0). Пространственные компоненты уравнения A34.15) дают тогда 7/°7/п - l w dg0° - др 7/7/п iUj иг\ — — , 2 goo дх" дх* или wdx* 2дх* 6UU V J Это и есть искомое уравнение равновесия. В нерелятивист- ском предельном случае w = pc2, goo = 1 + 2(^/с2 ((^ — ньютонов- ский гравитационный потенциал), и уравнение A34.16) перехо- дит в т. е. в обычное гидростатическое уравнение.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Релятивистские гидродинамические уравнения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Напомним, что такое соотношение имеет место для определенного ко- 