Рассмотрим теперь несколько конкретных случаев распро- странения детонационных волн в газе, который первоначально покоился. Начнем с детонации в газе, находящемся в трубе, один из концов которой (х = 0) закрыт. Граничные условия в этом случае требуют равенства нулю скорости газа как впереди дето- национной волны (детонационная волна не влияет на состояние газа, находящегося перед нею), так и на закрытом конце трубы. Поскольку при прохождении детонационной волны газ приобре- тает отличную от нуля скорость, то в пространстве между вол- ной и закрытым концом трубы должно происходить падение его скорости. Для того чтобы определить возникающую при этом картину движения газа, замечаем, что в рассматриваемой зада- че нет никаких параметров длины, которые бы характеризова- ли условия движения вдоль длины трубы (оси х). Мы видели 22* 676 ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ ГЛ. XIV в § 99, что в таком случае изменение скорости газа может про- изойти либо в ударной волне (разделяющей две области посто- янной скорости), либо в автомодельной волне разрежения. Предположим сначала, что детонационная волна не соответ- ствует точке Чепмена-Жуге. Тогда скорость ее распространения относительно остающегося за нею газа г>2 < С2. Легко видеть, что в таком случае за детонационной волной не могут следовать ни ударная волна, ни слабый разрыв (передний фронт волны раз- режения). Действительно первая должна перемещаться относи- тельно находящегося перед нею газа со скоростью, превышаю- щей С2, а второй —со скоростью, равной С2] в обоих случаях они перегоняли бы детонационную волну. Таким образом, при сде- ланном предположении оказывается невозможным уменьшить скорость движущегося за детонационной волной газа, т. е. невоз- можно удовлетворить граничному условию при х = 0. Удовлетворить этому условию можно лишь с детонационной волной, соответствующей точке Чепмена-Жуге. В этом случае V2 = С2, и за детонационной волной может следовать волна разрежения. Возникнув в точке х = 0 одновремен- но с началом детонации, волна разрежения будет /\ иметь передний фронт совпадающим с детонаци- / | онной волной. со vix/t Таким образом, мы приходим к существенно- а му результату, что детонационная волна, распро- страняющаяся по трубе в подожженном у ее за- Л крытого конца газе, должна соответствовать точке / Чепмена-Жуге. Она движется относительно нахо- дящегося непосредственно за нею газа со скоро- стью, равной местной скорости звука. От самой де- тонационной волны начинается область волны раз- режения, в которой, скорость газа (относительно Рис. 133 трубы) монотонно падает до нуля. Точка, в кото- рой скорость впервые обращается в нуль, является слабым раз- рывом. Позади слабого разрыва газ неподвижен (рис. 133 а). Рассмотрим теперь детонационную волну, распространяющу- юся по трубе от открытого ее конца. Давление газа, находяще- гося перед детонационной волной, должно быть равно первона- чальному давлению исходного газа, совпадающему, очевидно, с внешним давлением. Ясно, что и в этом случае где-то позади де- тонационной волны должно происходить падение скорости. Если бы на всем протяжении от начала трубы до волны скорость га- за была постоянной, то это значило бы, что на открытом конце трубы происходит засасывание газа извне; между тем давление газа в трубе было бы выше внешнего (так как за детонационной волной давление выше, чем перед нею), и потому такое засасы- вание невозможно. По таким же причинам, как и в предыду- § 130 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 677 щем случае, детонационная волна должна соответствовать точ- ке Чепмена-Жуге. В результате получается картина движения, схематически изображенная на рис. 133 б. Непосредственно за детонационной волной начинается область автомодельной волны разрежения, в которой скорость монотонно падает по направле- нию к началу трубы, причем меняет в некоторой точке знак. Это значит, что в некотором начальном участке трубы газ будет двигаться в направлении к открытому концу трубы, из которого и будет вытекать наружу; выходная скорость этого вытекания равна местному значению скорости звука, а выходное давление превышает внешнее (мы видели в § 97, что такой режим вытека- ния возможен) х) . Рассмотрим, далее, важный случай сферической детонаци- онной волны, расходящейся от точки начального воспламенения газа как из центра {Я.Б. Зельдович, 1942). Поскольку газ дол- жен быть неподвижным как впереди детонационной волны, так и вблизи центра, то и здесь скорость газа должна падать по на- правлению от волны к центру. Как и в случае движения в трубе, здесь также нет никаких заданных характерных параметров раз- мерности длины. Поэтому возникающее движение газа должно быть автомодельным, с той разницей, что роль координаты х играет теперь расстояние г от центра; таким образом, все вели- чины должны быть функциями только отношения r/t 2) . Для центрально-симметричного движения (vr = г; (г, ?), v^ = = vq = 0) уравнения движения имеют следующий вид. Уравне- ние непрерывности: dp d(vp) 2vp _ ~ dt dr r уравнение Эйлера: dv . dv 1 dp — + v— = —- — dt dr p dr и уравнение сохранения энтропии: — +v— = 0 dt dr Вводя переменную ? = r/t (? > 0) и считая, что все величи- ны являются функциями только ?, получим следующую систему 1)Мы везде полностью отвлекаемся от тепловых потерь, которыми мо- жет сопровождаться распространение детонационной волны. Как и в случае медленного горения, эти потери могут сделать распространение детонации невозможным. При детонации в трубе источником потерь являются в пер- вую очередь отвод тепла через стенки трубы и замедление газа благодаря трению. ) Безразмерную автомодельную переменную в этой задаче можно опреде- лить как r/(?y/g), где характерный постоянный параметр q — теплота реак- ции на единицу массы. 678 ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ ГЛ. XIV уравнений: (Z-v)v' = p-, A30.2) р (i-v)s' = 0 A30.3) (штрих означает дифференцирование по ?). Положить здесь v = ? нельзя, так как это противоречит первому уравнению. По- этому из третьего сразу имеем sf = 0, т. е. s = const. Имея в виду постоянство энтропии, можем написать р1 = с2/У, и уравнение A30.2) приобретает вид (?-v)v' = c2^. A30.4) Р Подставив сюда р1/р из A30.1), получаем следующее соотно- шение: [(?0lL' = 2?. A30.5) Уравнения A30.4) и A30.5) не могут быть проинтегрированы в аналитическом виде, но свойства их решения могут быть иссле- дованы. Область, в которой газ совершает движение рассматривае- мого типа, ограничена, как мы увидим ниже, двумя сферами, из которых наружная представляет собой поверхность самой дето- национной волны, а внутренняя является поверхностью слабого разрыва, причем скорость обращается на ней в нуль. Изучим прежде всего свойства решения вблизи точки, где v обращается в нуль. Легко видеть, что в точке, где v = 0, непре- менно должно быть одновременно ? = с: v = 0, f = с. A30.6) Действительно, при стремлении v к нулю In г; стремится к —оо; поэтому, когда ?, уменьшаясь, стремится к значению, со- ответствующему внутренней границе рассматриваемой области, производная dlnv/d^ должна стремиться к +оо. Между тем из A30.5) имеем при v = 0 d\nv 2 Это выражение может стремиться к +оо лишь при ? —>• с. В самом начале координат радиальная скорость должна обра- титься в нуль уже непосредственно в силу симметрии. Таким § 130 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 679 образом, вокруг начала координат будет находиться область не- подвижного газа (область внутри сферы ? = со, где со — значение скорости звука при v = 0). Выясним свойства функции v(?) вблизи точки A30.6). Из A30.5) имеем dv 2 L с2 С точностью до величин первого порядка малости (каковыми являются v, ? — со, с — со) получаем после простого вычисления: Согласно A02.1) имеем v + с — со = olqv, где «о — положитель- ная постоянная (значение величины A02.2) при v = 0), и мы получаем для ? — со как функции v следующее линейное диффе- ренциальное уравнение первого порядка: ^) _ ( о) = _ dv Решение этого уравнения есть t л const /1 on гл ? — со = aov In . A30.7) V Этим определяется в неявном виде функция v(?) вблизи точки, где v = 0. Мы видим, что внутренняя граница является поверхностью слабого разрыва; скорость обращается на ней в нуль, не испы- тывая скачка. Кривая зависимости v(^) имеет на этой границе горизонтальную касательную (dv/dt; = 0). Мы имеем здесь дело со слабым разрывом весьма своеобразного типа: первая произ- водная на нем непрерывна, а все производные высших порядков обращаются в бесконечность (в чем легко убедиться на основа- нии A30.7)). Отношение r/t при v = 0 есть, очевидно, не что иное, как скорость перемещения границы области относитель- но газа; согласно A30.6) она равна местному значению скорости звука, как и должно быть для слабого разрыва. Далее имеем при малых v согласно A30.7): f - v - с = (? - с0) - (г; + с - с0) = aov Mn ^^- - 1J. Эта величина при малых v положительна: ?-v-c>0. Покажем, что нигде внутри области рассматриваемого движения разность (? — г;) — с не может изменить знак. Рассмотрим точку, в которой было бы ?-v = c, v^0. A30.8) 680 ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ ГЛ. XIV Из A30.5) видно, что в такой точке производная v' должна обра- титься в бесконечность, т. е. ^ = 0. A30.9) dv Что касается второй производной dP^/dv2, то простое вычисле- ние дает для нее (при условиях A30.8) и A30.9)) значение dv2 со v отличное от нуля. Но это значит, что в рассматриваемой точке ? как функция v имеет максимум. Иначе можно сказать, что функ- ция v(?) существует лишь при ?, лежащих только по нижнюю сторону от значения, соответствующего условиям A30.8); это значение является второй границей, за которую не может про- стираться рассматриваемая область. Из того, что ? — v — с может обратиться в нуль только на границе области, а при малых v во всяком случае ? — v — с > 0, мы заключаем, что i-v> с A30.10) везде внутри этой области. Теперь уже легко видеть, что реальная передняя граница области рассматриваемого движения должна совпадать с точ- кой, где выполняются условия A30.8). Для этого замечаем, что разность r/t — г>, где г— координата границы, есть не что иное, как скорость перемещения этой границы относительно остающе- гося за ней газа. Но поверхность, на которой r/t — v > с, не может быть поверхностью детонационной волны (на которой должно быть r/t — v ^ с). Поэтому мы приходим к результату, что пе- редней границей рассматриваемой области может быть только точка, в которой имеет место A30.8). На этой границе v падает скачком до нуля, а скорость ее распространения относительно остающегося непосредственно за нею газа равна местной скоро- сти звука. Это значит, что детонационная волна должна соответ- ствовать точке Чепмена-Жуге детонационной адиабаты х) . Мы приходим к следующей картине движения газа при сфе- рическом распространении детонации. Детонационная волна, как и при детонации в трубе, соответствует точке Чепмена-Жуге. Непосредственно за нею начинается область сферической авто- модельной волны разрежения, в которой скорость газа падает до нуля. Падение происходит монотонно, так как согласно A30.5) производная dv/dt; может обратиться в нуль лишь в той точ- ке, где одновременно v = 0. Вместе со скоростью монотонно г) Отметим для полноты рассуждений, что v = const не является решением уравнений центрально-симметрического движения. Поэтому за детонацион- ной волной не может следовать область постоянной скорости. § 130 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 681 убывают также и давление и плотность газа (согласно A30.4) и A30.10) производная р' имеет везде тот же знак, что и v'). Кривая зависимости v от r/t имеет на передней границе верти- кальную (согласно A30.9)), а на внутренней — горизонтальную касательную (рис. 134). Внутренняя граница является слабым разрывом, вблизи которого зависимость v от r/t определяется уравнением A30.7). Внутри сферы, ограниченной поверхностью слабого разрыва, газ неподвижен. Общее ко- личество (по массе) неподвижного вещества, однако, весьма незначительно (ср. соображе- ния, приведенные в конце § 106). Таким образом, во всех рассмотренных ти- пичных случаях самопроизвольного одномер- ного и сферического распространения детона- ции граничные условия в области позади де- rjt тонационной волны приводят к однозначному отбору скорости последней, соответствующе- Рис 134 му точке Чепмена-Жуге (после того, как вся область детонационной адиабаты ниже этой точки была исклю- чена по соображениям, изложенным в § 129). Осуществление в трубе постоянного сечения детонации, соответствующей распо- ложенной выше этой точки части адиабаты, требовало бы искус- ственного поджатия продуктов горения движущимся со сверх- звуковой скоростью поршнем (см. задачу 3 к этому параграфу); о таких детонационных волнах говорят как о пережатых. Подчеркнем, однако, что эти выводы не имеют универсально- го характера, и можно представить себе случаи самопроизволь- ного возникновения пересжатой детонационной волны. Так, пе- ресжатая волна возникает при переходе детонации из широкой трубки в узкую; это явление связано с тем, что когда детонаци- онная волна доходит до места сужения, происходит ее частичное отражение, в результате чего давление продуктов горения, вте- кающих из широкой в узкую часть трубы, резко возрастает — ср. задачу 4 (Б.В. Айвазов, Я.Б. Зельдович, 1947) х). По поводу изложенной в этом и предыдущем параграфах тео- рии необходимо сделать следующее общее замечание. Структура детонационной волны предполагается в ней стационарной и од- нородной по ее площади; она одномерна в том смысле, что рас- пределение всех величин в зоне горения предполагается завися- щим только от одной координаты — вдоль ее ширины. Накоп- ленные к настоящему времени экспериментальные данные сви- детельствуют, однако, о том, что такая картина представляет ) Пересжатость возникает также при распространении сходящейся цилин- дрической или сферической детонационной волны — см. Зельдович Я.Б. // ЖЭТФ. 1959. Т. 36. С. 782. 682 ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ ГЛ. XIV собой далеко идущую идеализацию, которая могла бы служить лишь для некоторого усредненного описания процесса; реаль- но наблюдаемая картина обычно существенно от нее отлича- ется. Фактически структура детонационной волны существен- но нестационарна и существенно трехмерна; волна имеет вдоль своей площади мелкомасштабную, быстро меняющуюся со вре- менем сложную структуру. Ее возникновение представляет со- бой результат неустойчивости, связанной прежде всего с силь- ной (экспоненциальной) температурной зависимостью скорости реакции —уже небольшие изменения температуры при искаже- нии формы ударного фронта сильно отражаются на ходе ре- акции; эта неустойчивость выражена тем сильнее, чем больше отношение активационной энергии реакции к температуре газа (за ударной волной). В особенности наглядно неоднородность и нестационарность структуры детонационной волны проявляется в условиях, близких к пределу распространения детонации в тру- бе: воспламенение горючей смеси происходит в основном лишь за одиночными эксцентрично расположенными (и движущимися по спирали) резко деформированными участками ударного фронта (в таких случаях говорят о спиновой детонации).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распространение детонационной волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
