Линия пересечения двух ударных волн является в математи- ческом отношении особой линией двух функций, описывающих движение газа. Такой же особой линией является край всякого острого угла на поверхности обтекаемых газом тел. Оказывается возможным исследовать движение газа вблизи особой линии в самом общем виде (L. Prandtl, Th. Meyer, 1908). Рассматривая область вблизи небольшого участка особой ли- нии, мы можем считать последнюю прямой, которую мы выбе- рем в качестве оси z цилиндрической системы координат г, ср, z. Вблизи особой линии все величины существенным образом за- висят от угла ср. Напротив, от координаты г они зависят лишь слабо, и при достаточно малых г зависимостью от г можно во- обще пренебречь. Несущественна также зависимость величин от координаты z, — изменением картины течения вдоль небольшого участка особой линии можно пренебречь. Таким образом, мы должны исследовать стационарное дви- жение, при котором все величины являются функциями только ср. Уравнение сохранения энтропии vVs = 0 дает уф— = 0, откуда dip s = const , т. е. движение изэнтропично. Поэтому в уравне- нии Эйлера можно писать Vw вместо Vp/p: (vV)v = —Vw. В цилиндрических координатах получаем три уравнения: Vcp dvr v<p п V(p dv^ VrVcp 1 dw dvz n r dip r r dip r r dip dip Из последнего имеем vz = const; без ограничения общности мож- но положить vz = 0 и рассматривать движение как плоское, — это сводится просто к соответствующему выбору скорости дви- жения системы координат вдоль оси z. Первые два уравнения Если положить v^p = 0 (вместо ds/dip = 0), то, как легко заключить из написанных ниже уравнений движения, получится vr = 0, vz /0. Такое дви- жение соответствовало бы пересечению поверхностей тангенциальных раз- рывов (со скачком скорости vz) и ввиду неустойчивости таких разрывов не представляет интереса. § 109 ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ 571 переписываем в виде vv = ^, A09.1) dip ^ + Vr)=-l^ = -d^. (Ю9.2) dip J p dip dip Подставляя A09.1) в A09.2), получаем dvm . dvr dw v<p-r + vr-r = --1-, dip dip dip или, интегрируя w + vl±^ = const. A09.3) Заметим, что равенство A09.1) означает, что rotv = 0, т. е. движение потенциально; в связи с этим и имеет место уравнение Бернулли A09.3). Далее, уравнение непрерывности div (рлг) = 0 дает pvr + ± (pvv) = p(vr + d-^-)+ v^ = 0. A09.4) dip \ dip J dip Используя A09.2), получим отсюда Но производная dp/dp, которую правильнее писать в виде (dp/dp)s, есть квадрат скорости звука. Таким образом, <Ь± + v\(\-vl\ =o. A09.5) dip / V с2 / Этому уравнению можно удовлетворить двумя способами. Во- первых, может быть dip Тогда из A09.2) имеем р = const, p = = const, а из A09.3) получаем, что и v2 = v% + v^ = const, т. е. скорость по- стоянна по абсолютной величине. Лег- ко видеть, что и направление скорости Рис. 96 в этом случае постоянно. Угол х-> обра- зуемый скоростью с некоторым заданным направлением в плос- кости движения, равен (рис. 96) . A09.6) vr Дифференцируя это выражение по (р и используя A09.1), A09.2), 572 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ. XI получаем после простого преобразования: dip При р = const имеем, действительно, х = const. Таким образом, приравнивая нулю первый множитель в A09.5), мы получаем просто тривиальное решение — однородный поток. Во-вторых, уравнению A09.5) можно удовлетворить, поло- жив 1 = v^/c2, т. е. V(p = ±с. Радиальная же скорость опреде- лится из A09.3). Обозначая в этом уравнении const символом г^о, получаем v<p = ±с, vr = ±\/2(wo — w) — с2. В этом решении перпендикулярная к радиус-вектору составляю- щая V(p скорости в каждой точке равна по величине местной ско- рости звука. Полная же скорость v = \ ^ + v2 , следовательно, больше скорости звука. Как абсолютная величина скорости, так и ее направление меняются от точки к точке. Поскольку ско- рость звука не может пройти через нуль, то ясно, что непрерыв- ная функция v^ip) должна быть равна везде +с или же везде —с. Выбирая соответствующим образом направление отсчета угла <р, мы можем условиться считать, что v^ = с. Что касается выбора знака у vri то мы увидим ниже, что он диктуется физическими соображениями и должен быть положительным. Таким образом, v<p = с, vr = ^2(wo-w)-c2. A09.8) Из уравнения непрерывности A09.4) имеем dip = —d(pv(p)/(pvr). Подставив сюда A09.8) и интегрируя, получим ==. A09.9) Если известно уравнение состояния газа и уравнение адиабаты (напомним, что s = const), то с помощью этой формулы можно определить зависимость всех величин от угла (р. Таким образом, формулы A09.8), A09.9) полностью определяют движение газа. Займемся теперь более подробным изучением полученного решения. Прежде всего заметим, что прямые ср = const пере- секают в каждой точке линии тока под углом Маха (его синус равен V(p/v = с/у), т. е. являются характеристиками. Таким об- разом, одно из двух семейств характеристик (в плоскости ху) представляет собой пучок выходящих из особой точки прямых и обладает в данном случае важным свойством — вдоль каждой из них все величины остаются постоянными. В этом смысле рас- сматриваемое решение играет в теории плоского стационарного § 109 ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ 573 движения такую же роль, какую играет изученное в § 99 авто- модельное движение в теории нестационарных одномерных те- чений. Мы вернемся еще к этому вопросу в § 115. Из A09.9) видно, что (рс)' < 0 (штрих обозначает дифферен- цирование по ф). Написав (ре)' = ^ ар и замечая, что производная d(pc)/dp положительна (см. (99.9)), мы находим, что производная р' < 0; вместе с нею отрицательны и производные р' = с2//, w' = р' / р. Далее, из того, что производ- ная w1 отрицательна, следует, что абсолютная величина скорости v = л/2(г^о — w) —возрастающая функция ср. Наконец, из A09.7) следует, что %' > 0. Таким образом, получаем следующие нера- венства: ^<0, ^<0, ^>0, ^>0. A09.10) dip dip dip dip Другими словами, в направлении обхода вокруг особой точ- ки, совпадающем с направлением обтекания, плотность и давле- ние падают, а вектор скорости возрастает по абсолютной вели- чине и поворачивается в направлении обхода. Описанное движение часто называют волной разрежения] ниже мы будем пользоваться этим термином. Легко видеть, что волна разрежения не может иметь места во всей области вокруг особой линии. Действительно, поскольку v есть монотонно возрастающая функция <р, то при полном об- ходе вокруг начала координат (т. е. при изменении (р на 2тг) мы получили бы для v значение, отличное от исходного, что нелепо. Ввиду этого истинная картина движения вокруг особой линии должна представлять собой совокупность секториальных обла- стей, разделенных плоскостями ср = const, являющимися поверх- ностями разрывов. В каждой из таких областей происходит ли- бо движение, описываемое волной разрежения, либо движение с постоянной скоростью. Число и характер этих областей для раз- личных конкретных случаев будут установлены в следующих па- раграфах. Сейчас укажем лишь, что граница между волной раз- режения и областью однородного течения должна быть непре- менно слабым разрывом. Действительно, эта граница не может быть тангенциальным разрывом (разрывом скорости vr), так как на ней не обращается в нуль нормальная к ней компонента ско- рости V(p = с. Она не может также быть ударной волной, так как нормальная компонента скорости (v^) по одну сторону от такого разрыва должна была бы быть больше, а по другую — меньше скорости звука, между тем как в данном случае с одной из сто- рон границы мы во всяком случае имеем v^ = с. 574 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ. XI Из сказанного можно вывести важное следствие. Возмуще- ния, вызывающие образование слабых разрывов, исходят от осо- бой линии (оси z) и распространяются по направлению от нее. Это значит, что ограничивающие волну разрежения слабые раз- рывы должны быть «исходящими» по отношению к этой линии, т. е. компонента скорости vri касательная к слабому разрыву, должка быть положительна. Таким образом, мы оправдали сде- ланный в A09.8) выбор знака у vr. Применим теперь полученные формулы к политропному газу. В таком газе w = с /G — 1M уравнение же адиабаты Пуассона можно написать в виде A09.11) (ср. (99.13)). Пользуясь этими формулами, представим интеграл A09.9) в виде dc где с*— критическая скорость (см. (83.14)). Отсюда (р = а arccos — + const, или, выбирая начало отсчета ср так, чтобы const = 0, имеем Vy = с = с* cos а \^-^—ю. A09.12) V 7 + 1 Согласно формуле A09.8) получаем отсюда Vr = /l±i^sin /lui^. A09.13) у 71 7 + ' Далее, воспользовавшись уравнением адиабаты Пуассона в виде A09.11), находим зависимость давления от угла (р: р = р* (cos a hL-^ip) 7 " 1 • A09.14) V у 7 + 1 / Наконец, для угла х A09.6) имеем A09.15) (угол х отсчитывается от того же направления, от которого от- считывается ф). § 109 ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ 575 Поскольку должно быть vr > 0, с > 0, то угол ср в этих форму- лах может меняться только в пределах между ср = 0 и ср = (^тах, где A09.16) Это значит, что волна разрежения может занимать сектор с уг- лом раствора, не превышающим ^тах5 так? Для двухатомного га- за (воздух) этот угол равен 219,3°. При изменении (р от 0 до ^тах угол х меняется от тг/2 до (^тах- Таким образом, направле- ние скорости в волне разрежения может повернуться на угол, не превышающий (^тах — тг/2 (для воздуха 129,3°). При ср = (^тах давление обращается в нуль. Другими словами, если волна разрежения простирается вплоть до этого угла, то ограничивающий ее с этой стороны слабый разрыв представляет собой границу с вакуумом. При этом он, естественно, совпадает с одной из линии тока; имеем здесь: = С = 0, V г = V = т. е. скорость направлена по радиусу и достигает своего предель- ного значения г>тах (см. § 83). На рис. 97 даны графики величин р/р*, c*/v и х как функции угла (р для воздуха G = 1,4). p*v 0,8 0,6 0,4 0,2 у-я/2, град 120 80 40 0 0 40 80 120 160 Ф, град Рис. 97 Рис. 98 Полезно заметить форму, которую имеет определяемая фор- мулами A09.12), (A09.13) кривая в плоскости vxvy (так называе- мый годограф скоростей). Это — дуга эпициклоиды, построенной между окружностями радиусов v = с* и v = г>тах (рис. 98).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волна разрежения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
, т. е. движение изэнтропично. Поэтому в уравне- 