Рассмотрим стационарное вытекание газа из большого сосу- да через трубку переменного сечения, или, как говорят, через сопло. Мы будем предполагать, что движение газа можно счи- тать в каждом месте трубы однородным по ее сечению, а ско- рость—направленной практически вдоль оси трубы. Для этого труба должна быть не слишком широка, и площадь S ее сечения должна достаточно медленно меняться вдоль ее длины. Таким образом, все величины, характеризующие течение, будут функ- циями только от координаты вдоль оси трубы. При этих услови- ях можно применять полученные в § 83 соотношения, имеющие место вдоль линии тока, непосредственно к изменению величин вдоль длины трубы. Количество (масса) газа, проходящего в единицу времени че- рез поперечное сечение трубы, или, как говорят, расход газа, рав- но Q = pvS] эта величина должна, очевидно, оставаться посто- янной вдоль всей трубы: Q = pvS = const. (97.1) Линейные размеры самого сосуда предполагаются очень больши- ми по сравнению с диаметром трубы. Поэтому скорость газа в сосуде можно считать равной нулю, и соответственно этому все величины с индексом нуль в формулах § 83 будут представлять собой значения соответствующих величин внутри сосуда. Мы видели, что плотность потока j = pv не может превы- шать некоторого предельного значения j*. Ясно поэтому, что и возможные значения полного расхода газа Q будут иметь (для данной трубы и при заданном состоянии газа внутри сосуда) верхнюю границу Qmax, которую легко определить. Если бы зна- чение j* плотности потока было достигнуто не в самом узком месте трубы, то в сечениях с меньшим S было бы j > j*, что невозможно. Поэтому значение j = j* может быть достигнуто только в самом узком месте трубы, площадь сечения которого обозначим через Sm{n. Таким образом, верхняя граница полного расхода газа есть 1+7 Qmax = P*V*Sm{n = л/WOPO ( 7 ) ^ ~ ^ ^min- (97.2) V7 + 1/ 502 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X Рис. 70 Рассмотрим сначала сопло, монотонно суживающееся по на- правлению к своему внешнему концу, так что минимальная пло- щадь сечения достигается на этом конце (рис. 70). В силу (97.1) плотность потока j монотонно возрастает вдоль трубы. То же самое касается скорости газа г>, а давление соответственно моно- тонно падает. Наибольшее возможное значение j будет достиг- нуто, если скорость v достигает значе- ния с как раз на выходном конце тру- бы, т. е. если будет v\ = с\ = г;* (буквы с индексом 1 обозначают значения ве- личин на выходном конце трубы). Од- новременно будет и р = _р*. Проследим за изменением режима вытекания газа при уменьшении дав- ления ре внешней среды, в которую газ выпускается. При уменьшении внешне- го давления от значения, равного дав- лению ро в сосуде, и вплоть до значения р* одновременно с ним падает также и давление р\ в выходном сечении трубы, причем оба эти давления (р\ и ре) остаются равными друг другу; дру- гими словами, все падение давления от ро до внешнего проис- ходит внутри сопла. Выходная же скорость v\ и полный расход газа Q = jiSm{n монотонно возрастают. При ре = р* выходная скорость делается равной местному значению скорости звука, а расход газа — значению Qmax- При дальнейшем понижении внеш- него давления выходное давление перестает падать и остается все время равным р*] падение же давления от р* до ре происходит уже вне трубы, в окружающем пространстве. Другими слова- ми, ни при каком внешнем давлении падение давления газа в трубе не может быть большим, чем от ро до р*] так, для воз- духа (р* = 0,53ро) максимальное падение давления составляет 0,47^0- Выходная скорость и расход газа тоже остаются (при Ре < Р*) постоянными. Таким обра- зом, при истечении через суживаю- щееся сопло газ не может приобрести сверхзвуковой скорости. Невозможность достижения сверх- звуковых скоростей при выпускании газа через суживающееся сопло свя- зана с тем, что скорость, равная местной скорости звука, может до- стигаться только на самом выходном конце такой трубы. Ясно, что сверхзвуковая скорость сможет быть достигнута с помощью сопла сначала суживающегося, а затем вновь расширяющегося (рис. 71). Такие сопла называются соплами Лаваля. Максимальная плотность потока j*, если и достигается, то опять-таки только в наиболее узком сечении, так что и в таком Рис. 71 § 97 ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ЧЕРЕЗ СОПЛО 503 сопле расход газа не может превышать значения Sm[nj*. В су- живающейся части сопла плотность потока возрастает (а дав- ление падает); на кривой рис. 72, изображающей зависимость j от р , это соответствует передвижению от точки с по направле- нию к Ь. Если в сечении *Smin достигается максимальный поток (точка b на рис. 72), то в расширяющейся части сопла давле- ние будет продолжать падать и начнет падать также и j соот- ветственно перемещению по кри- вой рис. 72 от точки b по направ- лению к а. На выходном конце трубы поток j приобретает то- гда вполне определенное значе- ние, равное J и max d^^—"" /а ! Ь е ^\ С ) Pi Po • _ • Jl max — J* Si Рис. 72 а давление — соответствующее этому потоку значение, обозна- ченное на рис. 72 символом р± (некоторая точка d на кривой). Если же в сечении *Smin достигается лишь некоторая точка е, то в расширяющейся части сопла давление будет возрастать со- ответственно обратному перемещению по кривой вниз от точки е. На первый взгляд могло бы показаться, что с ветви cb кри- вой можно перейти на ветвь ab скачком, минуя точку 6, посред- ством образования ударной волны; однако это невозможно, так как «втекающий» в ударную волну газ не может иметь дозвуко- вой скорости. Имея в виду все эти замечания, проследим теперь за измене- нием режима вытекания по мере постепенного увеличения внеш- него давления ре. При малых давлениях, начиная от нуля и до значения ре = р'1? устанавливается режим, при котором в сече- нии S^in достигается давление р* и скорость v* = с*. В расши- ряющейся части сопла скорость продолжает расти, так что осу- ществляется сверхзвуковое течение газа, а давление продолжает соответственно падать, достигая на выходном конце значения р[ вне зависимости от величины ре. Падение давления от р± до ре происходит вне сопла, в отходящей от края его отверстия волне разрежения (как это будет описано в § 112). Когда ре начинает превышать значение р±, появляется отхо- дящая от края отверстия сопла косая ударная волна, сжимаю- щая газ от выходного давления р± до давления ре (§ 112). Мы увидим, однако, что стационарная ударная волна может отхо- Согласно формулам (83.15)-(83.17) уравнение этой зависимости: -) (^т^^-у \] ¦ 504 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X дить от твердой поверхности лишь постольку, поскольку она не обладает слишком большой интенсивностью (§ 111). Поэтому при дальнейшем повышении внешнего давления ударная волна ско- ро начинает передвигаться внутрь сопла, причем перед ней, на внутренней поверхности сопла, возникает отрыв. При некотором значении ре ударная волна достигает наиболее узкого сечения сопла и затем исчезает; течение становится всюду дозвуковым с отрывом на стенках расширяющейся (диффузорной) части соп- ла. Все эти сложные явления имеют уже, разумеется, существен- но трехмерный характер.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Истечение газа через сопло» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
, это соответствует передвижению от точки с по направле- 