Рассматривая в § 93 строение ударной волны, мы по существу предполагали, что коэффициенты вязкости и температуропро- водности — величины одного порядка, как это обычно и бывает. Возможен, однако, и случай, когда \^> v. Именно, если темпе- ратура вещества достаточно высока, то в теплопроводности бу- дет участвовать добавочный механизм — лучистая теплопровод- ность, осуществляемая находящимся в равновесии с веществом тепловым излучением. На вязкости же (т. е. на переносе импуль- са) наличие излучения сказывается в несравненно меньшей сте- пени, в результате чего v и может оказаться малым по сравнению с х- Мы увидим сейчас, что наличие такого неравенства приводит к весьма существенному изменению структуры ударной волны. г) Такой случай мог бы, в принципе, иметь место в диссоциирующем много- атомном газе, если в равновесном состоянии за ударной волной достигается достаточно полная диссоциация его молекул на меньшие части. Диссоциация увеличивает значение отношения теплоемкостей 7, и тем самым уменьшает предельное сжатие в ударной волне, если только она уже настолько полна, что нагревание газа не требует заметной затраты энергии на продолжение диссоциации. 496 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Пренебрегая членами, содержащими вязкость, напишем урав- нения (93.2) и (93.3), определяющие структуру переходного слоя, в виде P + 32V=Pl+j2Vu (95.1) Z^=wjW_fy?_m (95<2) j dx 2 2 v J Правая часть второго из этих уравнений обращается в нуль лишь на границе слоя. Поскольку температура позади ударной волны должна быть выше, чем впереди нее, то отсюда следует, что на протяжении всей ширины переходного слоя — > О, (95.3) dx т. е. температура возрастает монотонно. Все величины в слое являются функцией одной переменной — координаты ж, а потому и определенными функциями друг от друга. Продифференцировав соотношение (95.1) по V, получим ^ dp \ dT (dp \ 2 г\ Jyr)v~dV VdVJT 3 ~ Производная (др/дТ)у у газов всегда положительна. Поэтому знак производной dT/dV определяется знаком суммы (др/дУ)т + + j2. В состоянии 1 имеем j2 > (dpi/dV\)s (так как v\ > ci), a поскольку адиабатическая сжимаемость всегда меньше изотер- мической, то во всяком случае и t Следовательно, на стороне 1 производная dVi Если эта производная отрицательна и на всем протяжении ши- рины переходного слоя, то по мере сжатия вещества (уменьше- ния V) при переходе со стороны 1 на сторону 2 температура будет монотонно возрастать в согласии с неравенством (95.3). Другими словами, мы будем иметь дело с ударной волной, силь- но расширенной благодаря большой теплопроводности (расши- рение может оказаться столь большим, что самое представление об ударной волне станет условным). Другая ситуация возникает, если (это неравенство отвечает достаточно большой интенсивности ударной волны — см. ниже (95.7)). Тогда в состоянии 2 будем иметь dT2/dV2 > 0, так что где-то между значениями V = V\ и § 95 ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ СКАЧОК 497 V = V~2 функция T(V) будет иметь максимум (рис. 69). Ясно, что переход от состояния 1 к состоянию 2 с непрерывным из- менением V станет невозможным, так как при этом неизбежно нарушилось бы неравенство (95.3). В результате мы получим следующую картину перехода от начального состояния 1 к конечному состоянию 2. Сначала идет область, в которой происходит постепенное т сжатие вещества от удельного объема V\ до объема V' (значение V, при котором впер- вые становится T(V') = T2; см. рис. 69); ши- рина этой области, определяющаяся тепло- проводностью, может быть весьма значи- тельной. Сжатие же от V1 до V2 происходит затем скачком при постоянной (равной Т2) температуре. Этот разрыв можно назвать изотермическим скачком. рис ™ Определим изменения давления и плот- ности в изотермическом скачке, предполагая газ идеальным. Условие непрерывности потока импульса (95.1), примененное к обеим сторонам скачка, дает р' + j2V' = р2 + j2V2. Для термодинамически идеального газа пишем V = RT'/(до) и, имея в виду, что Т' = Т2, получим / , fRT2 , р + = Р2 + fRT 2 АФ2 Это квадратное уравнение для р' имеет (помимо тривиального корня р1 = р2) решение j/ = J^=i4 (95.5) fip2 Выражаем j2 согласно формуле (85.6): Vi - V2 после чего, подставив сюда V2/V1 из (89.1), получим для полит- ропного газа i (95.6) Поскольку должно быть р2 > р', то мы находим, что изотерми- ческий скачок возникает лишь при отношениях давлений р2 и р\, удовлетворяющих условию ^ > 2+1 (95.7) Pi 3-7 У ' (Rayleigh, 1910). Это условие можно, конечно, получить и непо- средственно из (95.4). 498 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Поскольку при данной температуре плотность газа пропорци- ональна давлению, то отношение плотностей в изотермическом скачке равно отношению давлений: Р- = % = Р~ (95-8) р2 V Р2 и стремится при увеличении р% к значению G — 1)/2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Изотермический скачок» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
