Применим полученные в предыдущих параграфах общие со- отношения к ударным волнам в политропном газе. Тепловая функция такого газа дается простой формулой (83.11). Подставив это выражение в (85.9), получим после про- стого преобразования следующую фор- мулу: Yl — G + l)Pl + G ~ 1)Р2 /gg ]\ По этой формуле можно определить по трем из величин pi, Vi, _p2, V2 четвер- тую. Отношение V2/V1 является моно- тонно убывающей функцией отноше- '"-—-х | ния Р2/Р1, стремящейся к конечному -i/б^ Г 2 3"V2/Vi пРеДелУ G - 1)/G + !)• Кривая, изо- бражающая зависимость между р2 и V-2 Рис- 58 при заданных pi, Vi (ударная адиаба- та), представлена на рис. 58. Это — равнобочная гипербола с асимптотами V2 7-1 V2 7-1 Vi 7 +1' Pi 7 + 1 Реальным смыслом обладает, как мы знаем, только верхняя часть кривой над точкой V2/V1 = P2JP\ = 1? изображ:енная на рис. 58 (для 7 = 1,4) сплошной линией. Для отношения температур с обеих сторон разрыва имеем со- гласно уравнению состояния термодинамически идеального газа T2/Ti =p2V2/(piVi), так что т2 _ р Для потока j получаем из (85.6) и (89.1): •2 _ G ~ 1)Р1 + G + 1)Р2 /gg 34 и отсюда для скорости распространения ударной волны относи- § 89 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛИТРОПНОМ ГАЗЕ 469 тельно газов впереди и позади нее: v\ = ^[G - l)Pl + G + 1)Р2] = — [G - !) + G + !)—1 > 2 2tL PlJ (89.4) и для разности скоростей: Wl - v2 = уЖ(р2~Р1) . (89.5) [G1)Р + G + 1Ы1/2 1 J В применениях полезны формулы, выражающие отношения плотностей, давлений и температур в ударной волне через число Mi = v\jc\\ эти формулы без труда выводятся из полученных выше соотношений и гласят: p1=v_1= pi v2 G-l)Mf+2' El = J2_M? - 1^1, pi 7 + 1 7 + 1 (89.7) f8g g Ti G + lJM? ' l " > Число же М2 = V2/C2 выражается через число Mi с помощью соотношения = 2 + G-1)м; (899) Это соотношение симметрично относительно Mi и Мг, как это становится очевидным, если записать его в виде уравнения Выпишем предельные формулы для ударных волн очень боль- шой интенсивности (требуется, чтобы было G— 1)^2 ^> G+l)pi)• Имеем из (89.1), (89.2): = а = 1^ , Ti = i^Iei, (89.Ю) Vi p2 7 +1 Ti 7 +1 Pi Отношение Т2/Т1 неограниченно растет вместе СР2/Р1, т. е. ска- чок температуры, как и скачок давления, в ударной волне может быть сколь угодно большим. Отношение же плотностей стремит- ся к постоянному пределу; так, для одноатомного газа предель- ное значение р2 = 4pi, для двухатомного р2 = &р\. Скорости распространения ударной волны большой интенсивности равны (89.11) Они растут пропорционально корню из давления 470 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Наконец, приведем соотношения для ударных волн слабой интенсивности, представляющие собой первые члены разложе- ний по степеням малого отношения z = (р2 — Pi)/Pi'- 47 ci 27 pi 7 27^ (89.12) Здесь сохранены члены, дающие первую поправку к значениям, отвечающим звуковому приближению.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ударные волны в политропном газе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
