Рассмотрим ударную волну, в которой все величины испыты- вают лишь небольшой скачок; о таких разрывах мы будем гово- рить как об ударных волнах слабой интенсивности. Преобразу- ем соотношение (85.9), производя в нем разложение по степеням малых разностей S2 — s\ и р2 — р\. Мы увидим, что при таком разложении в (85.9) сокращаются члены первого и второго по- рядков по р2 — р\; поэтому необходимо производить разложение по р2 — Р\ до членов третьего порядка включительно. По разно- сти же 52 — «si достаточно разложить до членов первого порядка. Имеем (dw\ / ч . / dw \ / ч . lfdSw\ f ч2 6\dplJs _ 1 dw\ / \dsi Jp + 51 ) '1/ i 2 У 1 dw \ VdiJ fd2w\ , § 86 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ СЛАБОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ 459 Но согласно термодинамическому соотношению dw = T ds + V dp имеем для производных: \dsJp ' \dpJs Поэтому w2 -Wl =Ti(s2 - si) + Vi(p2 -pi) + , 1 @V\ ( \2 , l(d2V\ ( чз + o(^H (P2-P1 +7 T7 (P2-Pl) • 2 \dp\J s 6 V <9pf / s Объем V2 достаточно разложить только по р2 — р\, поскольку во втором члене уравнения (85.9) уже имеется малая разность Р2 — р\ и разложение по 52 — s\ дало бы член порядка (s2 — 2 — Pi), не интересующий нас. Таким образом, s f Подставляя эти разложения в (85.9), получим следующее соот- ношение: Таким образом, скачок энтропии в ударной волне слабой интен- сивности является малой величиной третьего порядка по срав- нению со скачком давления. Адиабатическая сжимаемость вещества—(dV/dp)s практи- чески всегда падает с увеличением давления, т. е. вторая про- изводная @)>О. (86.2) Подчеркнем, однако, что это неравенство не является термоди- намическим соотношением и, в принципе, возможны его нару- шения 2) . Как мы неоднократно увидим ниже, в газодинамике 1) Для политропного газа д2У (о У\ _ 7 + 1 V Это выражение проще всего можно получить путем дифференцирования уравнения адиабаты Пуассона pV1 = const. ) Так, это может иметь место в области вблизи критической точки жид- кость— газ. Ситуация с нарушением условия (86.2) может быть также ими- тирована на ударной адиабате для среды, допускающей фазовый пере- ход (в результате чего на адиабате возникает излом). См. об этом в кн.: Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемператур- ных гидродинамических явлений. Изд. 2-е. — М.: Наука, 1966, гл. 1, § 19; гл. XI, § 20. 460 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX знак производной (86.2) весьма существен; в дальнейшем мы бу- дем всегда считать его положительным. Проведем через точку 1 (pi, Vi) нар, V-диаграмме две кри- вые—ударную адиабату и адиабату Пуассона. Уравнение адиа- баты Пуассона есть 52 — s\ = 0. Из сравнения этого уравнения с уравнением (86.1) ударной адиабаты вблизи точки 1 видно, что обе кривые касаются в этой точке, причем имеет место каса- ние второго порядка — совпадают не только первые, но и вторые производные. Для того чтобы выяснить взаимное расположение обеих кривых вблизи точки i, воспользуемся тем, что согласно (86.1) и (86.2) при р2 > р\ на ударной адиабате должно быть 52 > «si, между тем как на адиабате Пуассона остается 52 = s\. Поэтому абсцисса точки на ударной адиабате должна быть при той же ординате р2 больше абсциссы точки на адиабате Пуас- сона. Это следует из того, что согласно известной термодинами- ческой формуле \ds )р~ ср \дт энтропия растет с увеличением объема при постоянном давле- нии— для всех тел, которые расширяются при нагревании, т. е. у которых (dV/дТ)р > 0. Аналогично убеждаемся в том, что ни- же точки 1 (т. е. при]92 < р\) абсциссы точек адиабаты Пуассона должны быть больше абсцисс ударной адиа- Р'н' баты. Таким образом, вблизи точки своего ка- сания обе кривые расположены указанным на рис. 55 образом (ННГ — ударная адиабата, а РР' — адиабаты Пуассона) г) , причем в силу (86.2) обе обращены вогнутостью вверх. При малыхP2~Pi и V2 — Vi формулу (85.6) можно написать в первом приближении в виде (мы пишем здесь производную при постоян- г ИС. 00 «j нои энтропии, имея в виду, что касательные к адиабатам Пуассона и ударной в точке 1 совпадают). Далее, скорости v\ и V2 в том же приближении одинаковы и равны v = IV = \ — Но это есть не что иное, как скорость звука с. Таким образом, скорость распространения ударных волн слабой интенсивности При @V/dT)p < 0 расположение обеих кривых было бы обратным. § 87 НАПРАВЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН В УДАРНОЙ ВОЛНЕ 461 совпадает в первом приближении со скоростью звука: v = c. (86.3) Из полученных свойств ударной адиабаты в окрестности точ- ки 1 можно вывести ряд существенных следствий. Поскольку в ударной волне должно выполняться условие S2 > s\, т0 должно быть и V2 > Ръ т. е. точки 2 (р2, V2) должны находиться выше точки 1. Далее, поскольку хорда 12 идет круче касательной к адиабате в точке 1 (см. рис. 53), а тангенс угла наклона этой касательной равен производной (dpi/dVi)Sl, имеем 2 > з2 >() J \dvjsi Умножая это неравенство с обеих сторон на Vi, находим где ci—скорость звука, соответствующая точке 1. Таким обра- зом, Vi > С\. Наконец, из того, что хорда 12 расположена менее круто, чем касательная в точке 2, аналогичным образом следует, что V2 <с21). Упомянем еще, в заключение, что при (d2V/dp2)s < 0 из условия 52 > «si для ударных волн слабой интенсивности следо- вало бы р2 < р\, а для скоростей —те же неравенства v\ > с\, V2 < С2-
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ударные волны слабой интенсивности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
