Уже непосредственно из уравнения Бернулли можно полу- чить ряд общих результатов, касающихся произвольного адиаба- тического стационарного движения сжимаемого газа. Уравнение Бернулли для стационарного движения имеет вид 2 w + — = const, где const — величина, постоянная вдоль каждой из линий тока (если же движение потенциально, то const одинакова и для раз- ных линий тока, т. е. во всем объеме жидкости). Если на одной линии тока есть точка, в которой скорость газа равна нулю, то можно написать уравнение Бернулли так: w + — =w0, (83.1) где г^о — значение тепловой функции в точке с v = 0. Уравнение сохранения энтропии при стационарном движении сводится к vVs = vds/dl = 0, т. е. s = const, где const есть опять величина, постоянная вдоль линии тока. Напишем это уравнение в виде, аналогичном (83.1): s = s0. (83.2) § 83 СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК СЖИМАЕМОГО ГАЗА 445 Из уравнения (83.1) видно, что скорость v больше в тех ме- стах, где тепловая функция w меньше. Максимальное (вдоль данной линии тока) значение скорость имеет в точке, в которой w минимально. Но при постоянной энтропии имеем dw = dp/ p] поскольку р > 0, то дифференциалы dw и dp имеют одинако- вые знаки и потому изменение w и р направлено всегда в одну сторону. Следовательно, можно сказать, что вдоль линии тока скорость всегда падает с увеличением давления, и наоборот. Наименьшее возможное значение давление и тепловая функ- ция получают (при адиабатическом процессе) при равной нулю абсолютной температуре Т = 0. Соответствующее значение дав- ления есть р = 0, а значение w при Т = 0 примем условно за нулевое значение, от которого отсчитывается энергия; тогда бу- дет и w = 0 при Т = 0. Из (83.1) получаем теперь, что наи- большее возможное значение скорости (при заданном значении термодинамических величин в точке с v = 0) равно %ах = у/Ъщ. (83.3) Эта скорость может достигаться при стационарном вытекании газа в вакуум х) . Выясним теперь характер изменения вдоль линии тока плот- ности потока жидкости j = pv. Из уравнения Эйлера (vV)v = = —Vp/p находим, что вдоль линии тока имеет место соотноше- ние р между дифференциалами dv и dp. Написав dp = c2dp, имеем отсюда ± = -Р1 (83.4) dv сг и затем: —— — /9A — — ). [Ъб.Ъ) dv \ с1 J Отсюда видно, что по мере возрастания скорости вдоль линии то- ка плотность потока возрастает до тех пор, пока скорость остает- ся дозвуковой. В области же сверхзвукового движения плотность потока падает с увеличением скорости и обращается в нуль вме- сте с р при v = vmax (рис. 52). Это существенное различие меж- ду до- и сверхзвуковыми стационарными потоками может быть истолковано наглядно еще и следующим образом. В дозвуковом потоке линии тока сближаются друг с другом в направлении уве- личения скорости. При сверхзвуковом же движении линии тока расходятся по мере увеличения скорости. :)В действительности, конечно, при сильном понижении температуры должна произойти конденсация газа и образование двухфазной системы — тумана. 446 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Поток j имеет максимальное значение j* в точке, в которой скорость газа равна местному значению скорости звука: 1,00 J* = /9*С* 0,50 (83.6) где буквы с индексом * показыва- ют значения соответствующих ве- личин в этой точке. Скорость г;* = с* называют критической. В общем случае произвольного газа Рис- 52 критические значения величин мо- гут быть выражены через значения величин в точке с v = 0 в результате совместного решения уравнений / / "Ч \ \ 0 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 = 2 (83.7) Очевидно, что всякий раз, когда число М = v/c < 1, мы будем также иметь v/c* < 1, а когда М > 1, то и v/c* > 1. Поэтому в данном случае отношение М* = v/c* может служить критерием, аналогичным числу Маха, и даже более удобным, по- скольку с* есть величина постоянная в противоположность ско- рости с, меняющейся вдоль потока. В применениях общих уравнений гидродинамики особое ме- сто занимает термодинамически идеальный газ. Говоря о таком газе, мы будем всегда (за исключением только особо оговорен- ных случаев) считать, что его теплоемкость является постоянной величиной, не зависящей от температуры (в интересующей нас температурной области). Такой газ часто называют политроп- ным] мы будем пользоваться этим термином, имея в виду под- черкнуть каждый раз, что речь идет о предположении, идущем гораздо дальше термодинамической идеальности. Для политроп- ного газа известны все соотношения между термодинамическими величинами, выражающиеся к тому же весьма простыми форму- лами; это часто дает возможность до конца решать уравнения гидродинамики. Выпишем здесь, для справок, эти соотношения, которыми нам неоднократно придется пользоваться в дальней- шем. Уравнение состояния термодинамически идеального газа гла- сит ру = ? = ^, (83.8) р f1 где R = 8,314 • 10 эрг/К-моль — газовая постоянная, a \i — моле- кулярная масса газа. Скорость звука в таком газе была вычис- лена в § 64 и дается формулой 2 RT р с =7— =7-> fi P (83.9) s cvT 7-1 7G-1) Для тепловой функции имеют место аналогичные формулы § 83 СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК СЖИМАЕМОГО ГАЗА 447 где введено отношение теплоемкостей 7=?Е. Су Это отношение всегда больше единицы, а для политропного газа оно постоянно. Для одноатомных газов 7 — 5/3, а для двухатом- ных 7 — 7/5 (при обычных температурах) х) . Внутренняя энергия политропного газа с точностью до несу- щественной аддитивной постоянной равна * ^ (83.10) лы w = CvT=^- = ^- (83.11) 7 — 1 j — 1 Здесь учтено известное соотношение ср — cv = R//J,. Наконец, энтропия газа s = cv\n^- = cpln^. (83.12) Р1 Р Вернемся к изучению стационарного движения и применим полученные выше общие соотношения к политропному газу. Под- ставив (83.11) в (83.3), найдем, что максимальная скорость ста- ционарного вытекания равна / 9 —y • (83.13) Для критической же скорости из второго уравнения (83.7) получим + 7-1 2 ?i = Wo = 2 откуда 2) 7 Уравнение Бернулли (83.1) после подстановки выражения (83.11) для тепловой функции даст соотношение между темпе- ратурой и скоростью в произвольной точке линии тока; анало- гичные соотношения для давления и плотности можно затем Название газа «политропный» происходит от термина «политропный процесс» — процесс, в котором давление меняется обратно пропорционально некоторой степени объема. Для газа с постоянными теплоемкостями тако- вым является не только изотермический, но и адиабатический процесс, для которого pV1 = const (адиабата Пуассона). Отношение теплоемкостей 7 на- зывают показателем адиабаты. ) На рис. 52 дан график отношения j/j* в функции от v/c* для воздуха G = 1,4, %ах = 2,45с*). 448 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX написать с помощью уравнения адиабаты Пуассона: 1 -1, p = po(-E-Y. (83.15) \ро / Таким образом, получим следующие важные формулы: 2 2 cj (8316) Иногда удобно пользоваться этими соотношениями в виде, опре- деляющем скорость через другие величины: 7- 1-М!- - -??-afi - (-е-)'!- (83.17) 7 - 1 Ро I Vpo/ J Выпишем также соотношение, связывающее скорость звука со скоростью v: с2 = 4 - ^ = l±±d - Х^2. (83.18) Отсюда найдем, что числа М и М* связаны друг с другом соот- ношением М в (83<19) * 2/М2+7-1 Когда М растет от 0 до оо, М^ растет от 0 до G + 1)/G ~ !)• Наконец, приведем выражения для критических значений температуры, давления и плотности; они получаются при v = с* из формул (83.16) : 7 1 Т* = ^-, p^pJ-M-r-i, p# = po(_^O-ie (8з.2О) 7 + 1 \7 +1/ \7 + 1/ Подчеркнем в заключение, что полученные здесь результаты относятся к движению, при котором не возникают ударные вол- ны. При наличии ударных волн не имеет места уравнение (83.2): Так, для воздуха G = 1,4) с* = 0,913со, р* = 0,528р0, Р* = 0,634ро, Т* = 0,833То. § 84 ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА 449 при прохождении линии тока через ударную волну энтропия газа возрастает. Мы увидим, однако, что уравнение Бернулли (83.1) остается справедливым и при наличии ударной волны, так как w + v2/2 является как раз одной из величин, сохраняющихся при прохо- ждении через поверхность разрыва (§ 85); вместе с ним остается, например, справедливой и формула (83.14).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Стационарный поток сжимаемого газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Название газа «политропный» происходит от термина «политропный 