Распространение возмущений в потоке сжимаемого газа
Когда скорость движения жидкости делается сравнимой со скоростью звука или превышает ее, на передний план выдвига- ются эффекты, связанные с сжимаемостью жидкости. С такого рода движениями приходится на практике иметь дело у газов. Поэтому о гидродинамике больших скоростей говорят обычно как о газодинамике. Прежде всего следует заметить, что в газодинамике практи- чески всегда приходится иметь дело с очень большими значения- ми числа Рейнольдса. Действительно, кинематическая вязкость газа, как известно из кинетической теории газов,— порядка ве- личины произведения длины свободного пробега молекул / на их среднюю скорость теплового движения; последняя же совпадает по порядку величины со скоростью звука, так что v ~ с/. Если характеристическая скорость газодинамической задачи — поряд- ка величины скорости звука или больше, то число Рейнольдса R ~ Lujv ~ Lu/lc, т. е. содержит заведомо очень большое отно- шение характеристических размеров L к длине свободного про- бега / х) . Как всегда, при очень больших значениях R вязкость оказывается не существенной для движения газа практически во всем пространстве, и в дальнейшем мы везде (за исключением лишь особо оговоренных мест) рассматриваем газ как идеальную (в гидродинамическом смысле слова) жидкость. Движение газа имеет существенно различный характер в за- висимости от того, является ли оно дозвуковым или сверхзвуко- вым, т. е. меньше или больше его скорость, чем скорость зву- ка. Одним из наиболее существенных принципиальных отличий сверхзвукового потока является возможность существования в нем так называемых ударных волн, свойства которых будут по- дробно рассмотрены в следующих параграфах. Здесь же мы рас- смотрим другую характерную особенность сверхзвукового дви- 1) Мы не рассматриваем вопроса о движении тел в очень разреженных газах, в которых длина пробега молекул сравнима с размерами тел. Этот вопрос по существу не является гидродинамической проблемой и должен рассматриваться с помощью кинетической теории газов. § 82 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 441 жения, связанную со свойствами распространения в газе малых возмущений. Если в каком-нибудь месте стационарно движущийся газ под- вергается слабому возмущению, то влияние этого возмущения распространяется затем по газу со скоростью (относительно са- мого газа), равной скорости звука. Скорость же распростране- ния возмущения относительно неподвижной системы координат складывается из двух частей: во-первых, возмущение сносится потоком газа со скоростью v и, во-вторых, распространяется от- носительно газа со скоростью с в некотором направлении п. Рас- смотрим для простоты однородный плоско-параллельный поток газа с постоянной скоростью v. Пусть в некоторой (неподвижной в пространстве) точке О газ подвергается малому возмущению. Скорость v + сп распространения исходящего из точки О воз- мущения (относительно неподвижной системы координат) раз- лична в зависимости от направления единичного вектора п. Все возможные ее значения мы получим, отложив из точки О век- тор v, а из его конца, как из центра, построив сферу радиуса с; векторы, проведенные из О в точки этой сферы, и определят возможные величины и на- правления скорости распро- странения возмущения. Пред- положим сначала, что v < с. Тогда векторы v + сп могут иметь любое направление в пространстве (рис. 50 а). Дру- гими словами, в дозвуковом потоке возмущение, исходя- а щее из некоторой точки, рас- Рис. 50 пространяется в конце концов по всему газу. Напротив, в сверхзвуковом потоке, v > с, направ- ления векторов v + сп, как видно из рис. 50 5, могут лежать только внутри конуса с вершиной в точке О, касающегося по- строенной из конца вектора v, как из центра, сферы. Для угла раствора 2а этого конуса имеем, как видно из чертежа: c/v. (82.1) Таким образом, в сверхзвуковом потоке исходящее из некото- рой точки возмущение распространяется только вниз по течению внутри конуса с углом раствора тем меньшим, чем меньше отно- шение c/v. На всей области потока вне этого конуса возмущение в точке О не отразится вовсе. Определяемый равенством (82.1) угол называют углом Маха. Отношение же v/c, весьма часто встречающееся в газодинамике, называют числом Маха: М = v/c. (82.2) 442 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Поверхность, ограничивающую область, которую достигает ис- ходящее из заданной точки возмущение, называют поверхностью Маха или характеристической поверхностью. В общем случае произвольного стационарного течения эта по- верхность не является уже конической во всем объеме потока. Можно, однако, по-прежнему утверждать, что она пересекает в каждой своей точке линию тока под углом, равным углу Маха. Значение же угла Маха меняется от точки к точке соответствен- но изменению скоростей v и с. Подчеркнем здесь, кстати, что при движении с большими ско- ростями скорость звука различна в разных местах газа — она ме- няется вместе с термодинамическими величинами (давлением, плотностью и т. д.), функцией которых она является . О скоро- сти звука как функции координат точки говорят как о местной скорости звука. Описанные свойства сверхзвукового течения придают ему ха- рактер, совершенно отличный от характера дозвукового движе- ния. Если дозвуковой поток газа встречает на своем пути какое- либо препятствие, например, обтекает какое-либо тело, то нали- чие этого препятствия изменяет движение во всем пространстве как вверх, так и вниз по течению; влияние обтекаемого тела исче- зает лишь асимптотически при удалении от тела. Сверхзвуновой же поток натекает на препятствие «сле- по»; влияние обтекаемого тела прости- рается лишь на область вниз по тече- нию 2) , а во всей остальной области про- странства вверх по течению газ движется так, как если бы никакого тела вообще не было. В случае плоского стационарного те- чения газа вместо характеристических поверхностей можно говорить о характе- ристических линиях (или просто харак- теристиках) в плоскости движения. Че- рез всякую точку О этой плоскости про- ходят две характеристики (AAf и В В1 на рис. 51), пересекающие проходящую через эту же точку линию тока под углами, рав- ными углу Маха. Ветви О А и О В характеристик, направленные вниз по течению, можно назвать исходящими из точки О; они ограничивают область АОВ течения, на которую могут влиять исходящие из точки О возмущения. Ветви же В'О и А'О мож- ) При изучении звуковых волн в гл. VIII мы могли считать скорость звука постоянной. ) Во избежание недоразумений оговорим, что если перед обтекаемым телом возникает ударная волна, то эта область несколько увеличивается (см. § 122). § 82 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 443 но назвать приходящими в точку О; область А'О В' между ними есть та область течения, которая может влиять на движение в точке О. Понятие о характеристиках (в трехмерном случае — характе- ристических поверхностях) имеет и несколько иной аспект. Это — лучи, вдоль которых распространяются возмущения, удовлетво- ряющие условиям геометрической акустики. Если, например, стационарный сверхзвуковой поток газа обтекает достаточно ма- лое препятствие, то вдоль отходящих от этого препятствия ха- рактеристик расположится стационарное возмущение движения газа. К этому результату мы пришли еще в § 68 при изучении геометрической акустики движущихся сред. Говоря о возмущении состояния газа, мы подразумеваем сла- бое изменение каких-либо характеризующих это состояние ве- личин: скорости, плотности, давления и т. п. По этому поводу необходимо сделать следующую оговорку: со скоростью звука не распространяются возмущения значений энтропии газа (при постоянном давлении) и ротора его скорости. Эти возмущения, раз возникнув, не перемещаются вовсе относительно газа, а от- носительно неподвижной системы координат переносятся вместе с газом со скоростью, равной скорости каждого данного его эле- мента. Для энтропии это является непосредственным следствием закона ее сохранения (в идеальной жидкости), который как раз и означает, что энтропия каждого элемента газа остается постоян- ной при его перемещении. Для ротора скорости (завихренности) то же самое следует из закона сохранения циркуляции. Для этих возмущений характеристиками являются сами линии тока. Подчеркнем, что последнее обстоятельство не меняет, разу- меется, общей справедливости высказанных выше утверждений об областях влияния, так как для них был существен лишь факт существования наибольшей возможной (равной скорости звука) скорости распространения возмущений относительно самого газа.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распространение возмущений в потоке сжимаемого газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. О скоро- 