Второй коэффициент вязкости ? (мы будем говорить о нем просто как о второй вязкости) имеет обычно тот же порядок величины, что и коэффициент вязкости г/. Существуют, однако, случаи, когда ? может достигать значений, значительно превы- шающих значения г/. Как мы знаем, вторая вязкость проявляет- ся в тех процессах, которые сопровождаются изменением объема (т. е. плотности) жидкости. При сжатии или расширении, как и § 81 ВТОРАЯ ВЯЗКОСТЬ 433 при всяком другом быстром изменении состояния, в жидкости нарушается термодинамическое равновесие, в связи с чем в ней начинаются внутренние процессы, стремящиеся восстановить это равновесие. Обычно эти процессы настолько быстры (т. е. их вре- мя релаксации настолько мало), что восстановление равновесия успевает практически полностью следовать за ходом изменения объема, если только, конечно, скорость этого изменения не слиш- ком велика. Существуют случаи, когда время релаксации процессов уста- новления равновесия в теле велико, т. е. эти процессы протекают сравнительно медленно. Так, если мы имеем дело с жидкостью или газом, представляющими собой смесь веществ, между кото- рыми может происходить химическая реакция, то при каждых данных плотности и температуре существует определенное со- стояние химического равновесия, характеризующееся определен- ными концентрациями веществ в смеси. Если, например, сжать жидкость, то состояние равновесия нарушится и начнет происхо- дить реакция, в результате которой концентрации веществ будут стремиться принять равновесные значения, соответствующие но- вому значению плотности (и температуры). Если скорость этой реакции не слишком велика, то установление равновесия проис- ходит сравнительно медленно и не будет поспевать за измене- нием сжатия. Процесс сжатия будет сопровождаться тогда вну- тренними процессами приближения к состоянию равновесия. Но процессы установления равновесия являются процессами необра- тимыми; они сопровождаются возрастанием энтропии и, следо- вательно, диссипацией энергии. Поэтому, если время релаксации этих процессов велико, то при сжатии или расширении жидко- сти происходит значительная диссипация энергии, и поскольку эта диссипация должна определяться второй вязкостью, то мы приходим к выводу, что ( будет велико . Интенсивность процессов диссипации, а с ними и величина ?, зависит, естественно, от соотношения между скоростью процес- сов сжатия и расширения и временем релаксации. Если, напри- мер, речь идет о сжатиях и расширениях, вызываемых звуковой волной, то вторая вязкость будет зависеть от частоты волны. Таким образом, значение второй вязкости не будет просто кон- стантой, характеризующей данное вещество, а само будет зави- сеть от частоты того движения, в котором она проявляется. О зависимости величины ( от частоты говорят как о ее дисперсии. Излагаемый ниже метод общего рассмотрения всех этих яв- лений принадлежит Л. И. Мандельштаму и М.А. Леонтовичу A937). г) Медленным процессом, приводящим к большим ?, часто является также передача энергии от поступательных степеней свободы молекул к колеба- тельным (внутримолекулярным) степеням свободы. 434 звук гл. viii Пусть ? — некоторая физическая величина, характеризующая состояние тела, а ?о — ее значение в состоянии равновесия; ?о яв- ляется функцией от плотности и температуры. Так, для жидких (или газовых) смесей величиной ? может являться концентрация одного из веществ в смеси, а ?о есть тогда значение концентрации при химическом равновесии. Если тело не находится в состоянии равновесия, то величи- на ? будет меняться со временем, стремясь принять значение ?о- В состояниях, близких к равновесному, разность ? — ?о мала, и можно разложить скорость ? изменения ? в ряд по этой разно- сти. Член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, так как ? должно обратиться в нуль в состоянии равновесия, т. е. при ? = ?о- Поэтому с точностью до членов первого порядка имеем ? = --(!; -Ы- (81.1) т Коэффициент пропорциональности между ? и ? — ?о должен быть отрицательным, так как в противном случае ? не стреми- лось бы к конечному пределу. Положительная постоянная т име- ет размерность времени и может рассматриваться как время ре- лаксации для данного процесса; чем т больше, тем медленнее происходит приближение к равновесию. В дальнейшем мы будем рассматривать процессы, в кото- рых жидкость подвергается периодическому адиабатическому х) сжатию и расширению, так что переменная часть плотности (и других термодинамических величин) зависит от времени посред- ством множителя e~lujt] речь идет о звуковой волне в жидкости. Вместе с плотностью и другими величинами меняется также и положение равновесия, так что ?о можно написать в виде ?о = = ?оо + ?о' гДе ?оо — постоянное значение ?о > соответствующее среднему значению плотности, a ?q — периодическая часть, про- порциональная e~lujt. Написав истинное значение ? в виде ? = = ?оо + ?75 мы видим из уравнения (81.1), что ?7 тоже является периодической функцией времени и связано с ?q соотношением е = т^^— (81-2) Вычислим производную от давления по плотности при рас- сматриваемом процессе. Давление должно теперь рассматри- ваться как функция от значений плотности и величины ? в дан- ном состоянии, а также от энтропии, которая предполагается *) Изменение энтропии (в состояниях, близких к равновесному) является величиной второго порядка малости. Поэтому с точностью до величин пер- вого порядка можно говорить об адиабатичности процесса. § 81 вторая вязкость 435 постоянной и которую мы будем для краткости просто опускать. Имеем dp (dp\ . (dp\ di — = — + I — —• dp \др/? Kd^Jpdp Согласно (81.2) подставляем сюда dp dp 1 — гит dp 1 — гит dp и получаем dp 1 — zcjt I Vap/? \dt,J p dp \dp Сумма /dp\ (dp\ d^o \dp/ ? \d^J p dp есть не что иное, как производная от р по р при процессе на- столько медленном, что жидкость находится все время в состоя- нии равновесия; обозначая ее через (dp/dp)p3iBUi имеем оконча- тельно: Op i- I 0р \ • / 0р \ I / о 1 о \ dp 1 — гит L \др/ равн \dp/?J Пусть, далее, ро —давление в состоянии термодинамического равновесия; ро связано с другими термодинамическими величи- нами уравнением состояния жидкости и является при заданных плотности и энтропии вполне определенной величиной. Давле- ние же р в неравновесном состоянии отлично от р$ и является функцией также и от (. Если плотность получает адиабатиче- ское приращение 5р, то равновесное давление меняется на ) p / равн между тем как полное приращение давления есть (др/дрMр, где др/др определяется формулой (81.3). Поэтому разность р — ро между истинным и равновесным давлениями в состоянии с плот- ностью р + 8р равна ) КтЧ(?) р/равнJ 1 — гит L \dpJ равн Нас интересуют здесь те изменения плотности, которые обу- словлены движением жидкости. Тогда 5р связано со скоростью уравнением непрерывности, которое мы напишем в виде —- + pdiv v = О, dt 436 звук гл. viii где d/dt обозначает полную производную по времени. При пе- риодическом движении имеем: dSp/dt = —iuiSp, и поэтому 5р = — divv. Подставляя это выражение в р — _ро, получаем Р-Ро = ^-^(со -4,) divv, (81.4) где введены обозначения 2 _ (др\ 9 VOp J равн смысл которых выяснится ниже. Для того чтобы связать полученные выражения с вязкостью жидкости, напишем тензор напряжений <т^. В этот тензор дав- ление входит в виде члена —pS^. Выделяя отсюда давление ро? определяющееся уравнением состояния, находим, что в неравно- весном состоянии в aik входит дополнительный член -(p-poNik = i T_9^ (c4 -cl)Sik divv. С другой стороны, сравнивая это с общим выражением A5.2), A5.3) для тензора напряжений, в которое divv входит в виде (divv, мы приходим к результату, что наличие медленных про- цессов установления равновесия макроскопически эквивалентно наличию второй вязкости, равной с = г^(<4-с*). (81.6) На обычную же вязкость г/ эти процессы не влияют. При процес- сах, настолько медленных, что тио <^ 1, ( равно Со = тр(с2оо-с20). (81.7) ( растет с увеличением времени релаксации г в согласии со ска- занным выше. При больших частотах ( оказывается функцией частоты, т. е. обнаруживает дисперсию. Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом влияет на- личие процессов с большим временем релаксации (для опреде- ленности будем говорить о химических реакциях) на распро- странение звука в жидкости. Для этого можно было бы исхо- дить из уравнения движения вязкой жидкости с С, определяе- мым формулой (81.6). Проще, однако, рассматривать движение формально как не вязкое, но с давлением р, определяющимся не уравнением состояния, а полученными здесь формулами. То- гда все известные нам уже из § 64 общие соотношения остаются § 81 вторая вязкость 437 формально применимыми. В частности, связь волнового векто- ра с частотой по-прежнему определяется формулой к = о;/с, где с = (др/дрI/2, причем производная др/др равна выражению (81.3). (Величина с не имеет, однако, теперь смысла скорости звука уже хотя бы потому, что она комплексна.) Таким образом, получаем 1 — iuJT /o-i п\ -—т—' (81-8) Определяемый этой формулой «волновой вектор» является величиной комплексной. Легко выяснить смысл этого обстоя- тельства. В плоской волне все величины зависят от координа- ты х (в направлении распространения) посредством множителя е . Написав к в виде к = k\-\-ik2 с вещественными к\ и &2, полу- чаем егкх = elklXe~k<2X, т. е. наряду с периодическим множителем к к получается также затухающий множитель е к2Х (&2 должно быть, конечно, положительным). Таким образом, комплексность волнового вектора является формальным выражением того, что волна затухает, т. е. имеет место поглощение звука. При этом вещественная часть комплексного «волнового вектора» опреде- ляет изменение фазы волны с расстоянием, а мнимая его часть есть коэффициент поглощения. Нетрудно отделить в (81.8) вещественную и мнимую части; в общем случае произвольных ио выражения для к\ и к,2 довольно громоздки, и мы не выписываем их здесь. Существенно, что к\ (как и &2) является функцией частоты. Таким образом, если в жидкости могут происходить химические реакции, то распро- странение звука с достаточно большими частотами сопровожда- ется дисперсией. В предельном случае малых частот (иот <С 1) формула (81.8) дает в первом приближении к = о;/со, что соответствует распро- странению звука со скоростью со- Так, разумеется, и должно бы- ло быть: условие oor^l означает, что период 1/ио звуковой волны велик по сравнению со временем релаксации; другими словами, установление химического равновесия практически успевает сле- довать за колебаниями плотности в звуковой волне, и поэтому скорость звука должна определяться равновесной производной (др/др)р&1Ш. В следующем приближении имеем к = - + ^{с1-с1), (81.9) со 2cg т. е. появляется затухание с коэффициентом, пропорциональным квадрату частоты. С помощью (81.7) мнимую часть к можно на- писать в виде кч = o;2(o/Bpcq); это совпадает с зависящей от ? 438 звук гл. viii частью коэффициента поглощения 7 G9.6), полученного без учета дисперсии. В обратном предельном случае больших частот (wr>l) име- ем в первом приближении к = cj/cqo, т. е. распространение звука со скоростью Cqo—результат опять-таки естественный, посколь- ку при иот^> 1 можно считать, что за время одного периода реак- ция вовсе не успевает произойти; поэтому скорость звука долж- на определяться производной (др/др)^ взятой при постоянных концентрациях. В следующем приближении имеем к = — + гс°°~с°. (81.10) г 9тг3 Коэффициент поглощения оказывается не зависящим от часто- ты. При переходе ота;<С1/тка;>1/г этот коэффициент моно- тонно возрастает, стремясь к постоянному значению, определяе- мому формулой (81.10). Заметим, что величина А^Аъ характе- ризующая поглощение на расстоянии, равном длине волны, ока- зывается в обоих предельных случаях малой (A^/fcx <C 1 ); она имеет максимум при некоторой промежуточной частоте (равной UT = л/С0/Соо). Уже из формулы, например, (81.7) видно, что Сое > СО (81.11) (поскольку должно быть ( > 0). В том же самом можно убедить- ся с помощью простых рассуждений на основании принципа Ле- Шателье. Предположим, что под влиянием внешнего воздействия объ- ем системы уменьшается (а плотность увеличивается). Этим си- стема выводится из состояния равновесия, и согласно принци- пу Ле-Шателье в ней должны начаться процессы, стремящие- ся уменьшить давление. Это значит, что величина др/др будет уменьшаться, и когда система вновь вернется в состояние рав- новесия, значение др/др = с2 будет меньшим, чем оно было в неравновесном состоянии. При выводе всех формул мы предполагали, что имеется все- го один медленный внутренний процесс релаксации. Возможны также и случаи, когда имеется одновременно несколько различ- ных таких процессов. Все формулы могут быть без труда обоб- щены на такой случай. Вместо одной величины ? мы будем иметь теперь ряд величин ?i, ?2, • • • , характеризующих состояние те- ла, и соответственно ряд времен релаксации ri, Т2, ... Выберем величины t;n таким образом, чтобы каждая из производных ?п зависела только от соответствующего ?п, т. е. чтобы было 6г = --Fг-Ы- (81-12) § 81 вторая вязкость 439 Вычисления, вполне аналогичные предыдущим, приводят тогда к формуле 2 (др\ где c^q = ( —- 1 , а постоянные ап равны \dpJ f равн При всего одной величине ? эта формула, как и должно быть, переходит в формулу (81.3).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вторая вязкость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 