Одно из самых интересных проявлений влияния вязкости на звуковые волны состоит в возникновении стационарных вихре- вых течений в стоячем звуковом поле при наличии твердых пре- пятствий или ограничивающих его твердых стенок. Это движе- ние (его называют акустическим течением) появляется во вто- ром приближении по амплитуде волны; его характерная особен- ность состоит в том, что скорость движения в нем (в простран- стве вне тонкого пристеночного слоя) оказывается не зависящей от вязкости,—хотя самим своим возникновением оно обязано именно вязкости (Rayleigh, 1883). Свойства акустического течения наиболее типичным образом проявляются в условиях, когда характерная длина задачи (раз- меры препятствий или области движения) мала по сравнению с длиной звуковой волны А, но в то же время велика по срав- нению с введенной в § 24 глубиной проникновения вязких волн У ' А>/>?. (80.1) Ввиду последнего условия, в области движения можно выде- лить узкий акустический пограничный слой, в котором происхо- дит падение скорости от ее значения в звуковой волне до нуля на твердой поверхности. Поскольку скорость газа в этом слое (как и в самой звуковой волне) мала по сравнению со скоростью звука, а его характерный размер — толщина 8 — мал по сравнению с А (ср. условие A0.17)), то движение в нем можно рассматривать как несжимаемое. Рассмотрим акустический пограничный слой у плоской твер- дой стенки (плоскость xz), причем движение будем считать плос- ким—в плоскости ху (Н. Schlichting, 1932). Приближения, свя- занные с малой толщиной пограничного слоя, описаны в § 39 и сохраняют силу для рассматриваемого нестационарного движе- ния. Нестационарность приводит лишь к появлению в уравнении Прандтля C9.5) членов с производными по времени: °ъ+ д±+ дъ_ив^ = иш ?и (80<2) дь дх у ду ду2 дх dt' v ; (производная dp/dx выражена через скорость U(x, t) течения вне пограничного слоя с помощью уравнения (9.3)). В данном случае U = vq cos kx • cos u)t = vq cos kx • Re e (80.3) 430 звук гл. viii (к = о;/с), что соответствует стоячей плоской звуковой волне с частотой со. Искомую скорость v в пограничном слое выразим через функцию тока ф(х, у, t) согласно дф дф ду дх чем автоматически удовлетворяется уравнение непрерывности C9.6). Будем решать уравнение (80.2) последовательными прибли- жениями по малой величине vq — амплитуде колебаний скорости газа в звуковой волне. В первом приближении пренебрегаем ква- дратичными членами полностью. Решение уравнения удовлетворяющее требуемым условиям при у = 0 и у = оо, есть 41} = Re {^o cos kx • е~ш A - е"^)}, где —. (80.4) Соответствующая функция тока (удовлетворяющая условию =0 при у = 0, эквивалентному условию Vy =0) есть </>A) = Re {v0 cos А;ж ¦ СA) (y)e"ia;*}, (80.5) В следующем приближении пишем v = v^1) + v^2^ и для ско- рости vB) получаем из (80.2) уравнение ^-,^^ = С/^_41)^-41)^- (80.6) dt ду2 дх х дх х ду V J В правой части имеются члены с частотами ио + ио = 2ио и о; — о; = 0. Последние приводят к появлению в vB) не завися- щих от времени членов, которые и описывают интересующее нас стационарное движение; ниже мы будем понимать под v^2^ толь- ко эту часть скорости. Соответствующую часть функции тока запишем в виде CB)C/) (80.7) С и для функции С (у) находим уравнение IRe(C(irC(D" где штрихи означают дифференцирование по у. I _ I|C(i)'|2 + IRe(C(irC( § 80 АКУСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 431 Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям ?B)@) = 0, (^ @) = 0, эквивалентным требованию Vx — Vy = = 0 на твердой поверхности. Что же касается условий вдали от стенки, то можно лишь потребовать, чтобы скорость vx стреми- лась к конечному значению (но не к нулю). Подстановка (80.5) в (80.8) и двукратное интегрирование приводят к следующему результату для производной ?v J : СB)' (у) = 3-- 1-е-2У'5 - СУ'5 sin У- - 1-е-У'5 cos y- + S КУ) 8 8 6 4 6 i У_е~У1 46 При у —>• оо она стремится к значению СB)/(оо) = 3/8, (80.9) чему отвечает скорость 42)(оо) = ^$т2кх. (80.10) х v ) 8c v ; Этот результат демонстрирует указанное в начале парагра- фа явление. Мы видим, что вне пограничного слоя возникает (во втором приближении по vq) стационарное движение, скорость которого не зависит от вязкости. Ее значение (80.10) служит граничным условием при определении акустического течения в основной области движения (см. задачу) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Акустическое течение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 