Общее уравнение теплопроводности в форме D9.4) или D9.5) может быть в различных случаях значительно упрощено. Если скорость движения жидкости мала по сравнению со ско- ростью звука, то возникающие в результате движения измене- ния давления настолько малы, что вызываемым ими изменением плотности (и других термодинамических величин) можно прене- бречь. Однако неравномерно нагретая жидкость не является все же при этом вполне несжимаемой в том смысле, как это пони- малось выше. Дело в том, что плотность меняется еще и под влиянием изменения температуры; этим изменением плотности, вообще говоря, нельзя пренебречь, и потому даже при достаточ- но малых скоростях плотность неравномерно нагретой жидкости все же нельзя считать постоянной. При определении производ- ных от термодинамических величин в этом случае надо, следо- вательно, считать постоянным давление, а не плотность. Так, имеем дз и поскольку Т ( — I есть теплоемкость ср при постоянном дав- V оТ ) р лении, то 1) В худшем же случае введение таких членов может вообще нарушить соблюдение необходимых законов сохранения. Следует иметь в виду, что при любом определении величин плотность потока массы j во всяком случае должна совпадать с импульсом единицы объема жидкости. Действительно, плотность потока j определяется уравнением непрерывности g+divj = O; dt умножая его на г и интегрируя по всему занятому жидкостью объему, по- лучим а поскольку интеграл J pr dV определяет положение центра инерции данной массы жидкости, то ясно, что интеграл JjdV есть ее импульс. 276 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V Уравнение D9.4) принимает вид ^ + WT) = div(xVT) + а'гк^-. E0.1) Для того чтобы в уравнениях движения неравномерно нагре- той жидкости можно было считать плотность постоянной, необ- ходимо (помимо малости отношения скорости жидкости к скоро- сти звука), чтобы имеющиеся в жидкости разности температур были достаточно малы; подчеркнем, что здесь речь идет именно об абсолютных значениях разностей температур, а не о градиен- те температуры. Тогда жидкость можно считать несжимаемой в том же смысле, как это подразумевалось раньше; в частности, уравнение непрерывности будет выглядеть просто как divv = 0. Считая разности температур малыми, мы будем пренебрегать также и температурным изменением величин г/, х, ср, т. е. будем считать их постоянными. Написав член aL—^- в том виде, как шдхк это сделано в D9.5), мы получим в результате уравнение пере- носа тепла в несжимаемой жидкости в следующем сравнительно простом виде: / \ 2 ^+vVT = xAT+— (?Hi + ?H* ) , E0.2) dt 2ср \дхк oxi J где v = r\jp — кинематическая вязкость, а вместо х введена тем- пературопроводность х = н/(рср). E0.3) В особенности просто выглядит уравнение переноса тепла в неподвижной жидкости, где перенос энергии обязан целиком теплопроводности. Опуская в E0.2) члены, содержащие скорость, получаем — = х^Т. E0.4) Это уравнение называется в математической физике уравнени- ем теплопроводности или уравнением Фурье. Оно может быть выведено, разумеется, и гораздо более простым образом, без по- мощи общего уравнения переноса тепла в движущейся жидко- сти. Согласно закону сохранения энергии количество тепла, по- глощающееся в некотором объеме в единицу времени, должно быть равно полному потоку тепла, втекающего в этот объем че- рез ограничивающую его поверхность. Как мы знаем, такой за- кон сохранения может быть выражен в виде уравнения непре- рывности для количества тепла. Это уравнение получается при- равниванием количества тепла, поглощающегося в единице объ- ема жидкости в единицу времени, дивергенции плотности пото- ка тепла, взятой с обратным знаком. Первое из них равно рср —; аъ § 50 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 277 здесь должна быть взята теплоемкость ср1 так как вдоль непо- движной жидкости давление должно быть, разумеется, постоян- ным. Приравняв это выражение — div q = xVT, получим как раз уравнение E0.4). Необходимо отметить, что применимость уравнения тепло- проводности E0.4) к жидкостям практически сильно ограниче- на. Дело в том, что в жидкостях, реально находящихся в поле тяжести, уже малый градиент температуры приводит в большин- стве случаев к возникновению заметного движения (так называ- емая конвекция; см. § 56). Поэтому реально можно иметь дело с неравномерным распределением температуры в неподвижной жидкости, разве только, если градиент температуры направлен противоположно силе тяжести или же если жидкость очень вяз- кая. Тем не менее, изучение уравнения теплопроводности в фор- ме E0.4) весьма существенно, так как уравнением такого вида описываются процессы теплопроводности в твердых телах. Имея это в виду, мы займемся здесь ив § 51, 52 более подробным его исследованием. Если распределение температуры в неравномерно нагретой неподвижной среде поддерживается (посредством некоторых внешних источников тепла) постоянным во времени, то уравне- ние теплопроводности принимает вид AT = 0. E0.5) Таким образом, стационарное распределение температуры в не- подвижной среде описывается уравнением Лапласа. В более об- щем случае, когда коэффициент ус нельзя считать постоянным, вместо E0.5) имеем уравнение div(xVT) = 0. E0.6) Если в жидкости имеются посторонние источники тепла, то к уравнению теплопроводности должен быть добавлен соответ- ствующий дополнительный член (таким источником тепла мо- жет, например, являться нагревание электрическим током). Пусть Q есть количество тепла, выделяемое этими источника- ми в единице объема жидкости в единицу времени; Q является, вообще говоря, функцией от координат и от времени. Тогда усло- вие баланса тепла, т. е. уравнение теплопроводности, напишется в виде pcp^ = xAT + Q. E0.7) Напишем граничные условия для уравнения теплопроводно- сти, которые должны иметь место на границе двух сред. Преж- де всего, на границе должны быть равными температуры обеих сред: Тг=Т2. E0.8) 278 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V Кроме того, поток тепла, выходящего из одной среды, должен быть равен потоку, входящему во вторую среду. Выбирая си- стему координат, в которой данный участок границы покоится, можно написать это условие в виде для каждого элемента df поверхности раздела. Написав VTdf =— d/, дп J' где дТ/дп — производная от Т по направлению нормали к по- верхности, получим граничное условие в виде дТх дТ2 /гП п\ XI— = ^2 — . E0.9) дп дп Если на поверхности раздела имеются посторонние источни- ки тепла, выделяющие количество тепла Q^s' на единице площа- ди в единицу времени, то вместо условия E0.9) надо написать: Kx^-K^El = Q^). E0.10) дп дп В физических задачах о распределении температуры при на- личии источников тепла интенсивность последних обычно сама задается в виде функции температуры. Если функция Q(T) до- статочно быстро возрастает с увеличением Т, то установление стационарного распределения температуры в теле, границы ко- торого поддерживаются при заданных условиях (например, при заданной температуре), может оказаться невозможным. Тепло- отвод через внешнюю поверхность тела пропорционален неко- торому среднему значению разности температур Т — Tq тела и внешней среды вне зависимости от закона тепловыделения вну- три тела. Ясно, что если последнее достаточно быстро возрастает с температурой, то теплоотвод может оказаться недостаточным для осуществления равновесного состояния. В этих условиях может возникнуть тепловой взрыв: если скорости экзотермической реакции горения достаточно быстро возрастают с температурой, то при невозможности стационар- ного распределения возникают быстрое разогревание вещества и ускорение реакции (Н.Н. Семенов, 1923). Скорость (а с ней и интенсивность выделения тепла) взрывных реакций горения за- висит от температуры в основном пропорционально множителю exp (-U/T) с большой энергией активации U. Для исследования условий возникновения теплового взрыва следует рассматривать ход реакции при сравнительно незначительном разогревании ве- щества и соответственно этому разложить 11 Т-То Т То Tg 2 § 50 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 279 где То — внешняя температура. Таким образом, задача сводится к исследованию уравнения теплопроводности с объемной интен- сивностью источников тепла вида Q = Qoexp[a(T-To)] E0.11) {Д.А. Франк-Каменецкий, 1939), —см. задачу 1.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплопроводность в несжимаемой жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
