Задача о вычислении подъемной силы крыла сводится по тео- реме Жуковского к задаче о вычислении циркуляции Г. Эта за- дача может быть решена в общем виде для хорошо обтекаемого тонкого крыла бесконеч- ного размаха, с постоян- У\ ным вдоль размаха про- ^ филем сечения (излагае- мый ниже метод решения принадлежит М.В. Келды- шу и Л.И. Седову, 1939). —> Пусть у = Ci(x) и у = * = С2(х) —уравнения ниж- Рис 37 ней и верхней частей кон- тура сечения (рис. 37). Мы предполагаем, что этот профиль тонкий, слабо изогнутый и наклонен к направлению обтекания (оси х) под малым углом атаки; другими словами, малы как 266 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV сами (д, B, так и производные ([, (^ т. е. нормаль к контуру направлена везде почти параллельно оси у. При этих условиях можно считать возмущение v скорости жидкости, вызываемое присутствием крыла, везде (кроме лишь малой области вблизи передней закругленной кромки крыла) малым по сравнению со скоростью натекания U. Граничное условие на поверхности кры- ла гласит Vy/U = (' при у = (. В силу сделанных предположений можно потребовать его выполнения не при у = ?, а при у = 0. Тогда на отрезке оси абсцисс от х = 0 до х = 1Х = а должно быть: vy = UB(x) при у ->> +0, vy = U([(x) при у ->> -0. D8.1) Имея в виду применить методы теории функций комплексно- го переменного, вводим комплексную скорость dw/dz = vx — ivy (ср. § 10), представляющую собой аналитическую функцию пере- менной z = x + iy. В данном случае на отрезке @, а) оси абсцисс эта функция должна удовлетворять условию 1щ*, = (-иШ при у->+С dz I -UC[(x) при у->-0. Для решения поставленной задачи прежде всего представим искомое поле скоростей г;(ж, у) в виде суммы v = v+ + v~ двух распределений, обладающих следующими свойствами симмет- рии: vx(x, -У) = vx(x. У), vy(x, -У) = ~Vy(x, у), vx(x, -у) = ~vx(x, у), ^(ж; -у) = ^(ж; у)- Эти свойства (для каждого из распределений v~ и v+ в отдель- ности) не противоречат уравнениям непрерывности и потенци- альности, и ввиду линейности задачи эти распределения можно искать независимо друг от друга. Соответственно представится в виде суммы w' = w'+ + w'_ также и комплексная скорость, причем граничные условия на отрезке @, а) для обоих членов суммы гласят: W-U+o = -W_|^_o = f (Ci - CO Функция wf_ может быть определена с помощью формулы Коши: §48 ПОДЪЕМНАЯ СИЛА ТОНКОГО КРЫЛА 267 где интегрирование производится в плоскости комплексного пе- ременного ? по окружности L малого радиуса с центром в точке ? = z (рис. 38). Контур L можно заменить окружностью С бес- конечно большого радиуса и обходимым по часовой стрелке кон- туром С] последний может быть стянут к дважды пробегаемому отрезку @, а). Интеграл по С обращается в нуль, так как w'(z) исчезает на бесконечности. Интеграл же по С дает следующее выражение: а w1 =-— /Ч^)~С^)<%. D8.5) 2тг J ?-z V 7 О При этом мы воспользовались предельными значениями D8.4) мнимой части w_ на отрезке (О, а) и тем, что согласно условиям симметрии D8.3) вещественная часть w'_ на этом отрезке не испытывает скачка. Для нахождения же функции w+ надо применить формулу Коши не к самой этой функции, а к произведению w+(z)g(z), где причем при z = х > а корень берется со знаком плюс. На отрез- ке @, а) вещественной оси функция g(z) чисто мнимая и имеет разрыв: g(x + гО) = — g(x — гО) = —г Ввиду этих свойств функции g(z) ясно, что мнимая часть произ- ведения gw+ будет иметь на отрезке @, а) разрыв, а веществен- ная часть будет непрерывна, подобно тому как это имеет место у функции w_. Поэтому в точности аналогично выводу формулы D8.5) получим а w'+(z)g(z) = -f f йЩ± Z7T J ^ — Z Собирая полученные выражения, найдем окончательно сле- дующую формулу, определяющую распределение скоростей во- круг тонкого крыла: а , а D8.6) dw _ _U_ z — a f Ci (?) + Сг dz 2ni\ z J ? - z 268 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV Вблизи закругленной передней кромки (т. е. при z —>> 0) это выражение, вообще говоря, обращается в бесконечность, что свя- зано с непригодностью в этой области рассматриваемого прибли- жения. Вблизи же задней заостренной кромки (т. е. при z —>> 0) первый член в D8.6) конечен; второй же член хотя, вообще го- воря, и обращается в бесконечность, но лишь логарифмическим образом . Эта логарифмическая особенность связана с характе- ром принятого здесь приближения и исчезает при более точном рассмотрении; никакой же степенной расходимости, в согласии с условием Чаплыгина, на задней кромке не оказывается. Вы- полнение этого условия достигнуто соответствующим выбором использованной выше функции g(z). Формула D8.6) позволяет определить циркуляцию скорости Г вокруг профиля крыла. Согласно общему правилу (см. § 10) Г определяется вычетом функции w'(z) относительно точки z = = 0, являющейся ее простым полюсом. Искомый вычет легко определить как коэффициент при 1/z в разложении функции w'(z) по степеням 1/z бесконечно удаленной точки: dw _ Г dz 2'kiz причем для Г получается простая формула D8.7) Отметим, что сюда входит только сумма функций (д и ^2- Можно сказать, что подъемная сила не изменится, если заменить тонкое крыло изогнутой пластинкой, форма которой задается функцией (Ci + C2)/2. Так, например, для крыла в виде плоской пластинки беско- нечного размаха, наклоненной под малым углом атаки а, имеем Ci = C2 = ot(a — ж), и формула D8.7) дает Г = —TraaU. Коэффи- циент подъемной силы такого крыла равен Су = ^L = 2тга.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Подъемная сила тонкого крыла» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Эта логарифмическая особенность связана с характе- 