Требуется определить движение в струе жидкости, бьющей из конца тонкой трубки и попадающей в неограниченное пространство, заполненное той же жидкостью, — так называемая затопленная струя (Л. Ландау, 1943). Выбираем сферические координаты г, б, ср с полярной осью вдоль направления скорости струи в точке ее выхода, которая выбирается в качестве начала координат. Движение обладает аксиальной симметрией вокруг полярной оси, так что v^ = 0, a V0, vr являются функциями только от г, б. Через всякую замк- нутую поверхность вокруг начала координат (в частности, че- рез бесконечно удаленную) должен протекать одинаковый пол- ный поток импульса («импульс струи»). Для этого скорость дол- жна падать обратно пропорционально расстоянию г от начала §23 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 119 координат, так что vr = If@), щ = -fie), B3.16) г г где F, f — некоторые функции только от в. Уравнение непрерыв- ности гласит: 1 <9(rV) 1 д / • л \ п -—^ = (sinб • V0) = 0. Отсюда находим, что fe. B3.17) Компоненты ПГ(р, П^ тензора потока импульса в струе тож- дественно исчезают, как это явствует уже из соображений сим- метрии. Сделаем предположение, что равны нулю также и ком- поненты Й00 и П^ (оно оправдывается тем, что в результате мы получаем решение, удовлетворяющее всем необходимым услови- ям). С помощью выражений A5.20) для компонент тензора а^ и формул B3.16), B3.17) легко убедиться в том, что между компо- нентами П00, П^ и ПГ0 тензора потока импульса в струе имеется соотношение sin2 в ¦ Ure = ~[sin2 в ¦ (П^ - ВД]. Z Ои Поэтому из равенства нулю П^ и П00 следует, что и ПГ0 = 0. Та- ким образом, из всех компонент П^ отлична от нуля только Пгг, зависящая от г как г . Легко видеть, что при этом уравнения движения dli-ik/dx^ = 0 удовлетворяются автоматически. Далее, запишем 1 (ивв - nw) = 1 (/2 + 2»// ctg в - 2uf) = 0, р Г2 ИЛИ d6\f) f 2i/ Решение этого уравнения есть J A-cos6' У J а из B3.17) получаем теперь для F: F = 2и \ А2~1 - ll. B3.19) Распределение давления определяем из уравнения 120 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II и получаем Apis2 A cos 9 — 1 P-PO ~ ~~^~(A_cos6,J B3.20) (po — давление на бесконечности). Постоянную А можно связать с «импульсом струи», — пол- ным потоком импульса в ней. Он равен интегралу по сфериче- ской поверхности: 7Г Р = фигг cos в df = 2тг Г г2Пгг cos в sin в d6. о Величина Пгг равна и вычисление интеграла приводит к результату 4 - db^±i -1) 2 A — l Р = B3.21) Формулы B3.16)—B3.21) решают поставленную задачу. При из- менении постоянной А от 1 до оо импульс струи Р пробегает все зна- чения от оо до 0. Линии тока определяются урав- нением dr/vr = r Рис. 12 интегрирование которого дает г sin2 в = const. B3.22) А - cos в v ; На рис. 12 изображен характерный вид линий тока. Течение представляет собой струю, вырывающуюся из начала координат и подсасывающую окружающую жидкость. Если условно счи- тать границей струи поверхность с минимальным расстоянием (г sin в) линии тока от оси, то это будет поверхность конуса с углом раствора 2#о, где cos#o = I/A. В предельном случае слабой струи (малые Р, чему отвечают большие А) имеем из B3.21) Р = 16тпу2р/А. Для скорости получаем в этом случае Р sin# Р cos 9 /00 00\ Щ = , vr = . B3.23) § 24 КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 121 В обратном случае сильной струи (большие Р, чему отвечает А —>> 1) имеем 2 7 ЗР Для больших углов F~1) распределение скоростей определяется формулами «в = - —ctg^, vr = -—, B3.24) г 2 г а для малых углов (в « #о): ^ = - 24ив2 , г;г = %v—3—-. B3.25) Полученное здесь решение является точным для струи, рас- сматриваемой как бьющая из точечного источника. Если учиты- вать конечные размеры отверстия трубки, то это решение пред- ставляет собой первый член разложения по степеням отношения размеров отверстия к расстоянию г от него. С этим обстоятель- ством связан тот факт, что если вычислить по полученному ре- шению полный поток жидкости, проходящей через замкнутую поверхность вокруг начала координат, то он окажется равным нулю. Отличный от нуля поток получился бы при учете следую- щих членов разложения по указанному отношению 2) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Затопленная струя» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
имеем 